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5.1 Les droites, les angles et les polygones

5.1.1 Les droites et les angles​

En géométrie, les polygones sont toujours formés de lignes droites (donc aucune courbe), on s'intéressera donc à ces lignes qu'on appelle simplement des droites. On désigne des droites par le symbole d. Lorsqu'il y a plus d'une droite dans une situation, on utilise la notation d1, d2, d3, etc.

Lorsque deux droites existent dans le même système de référence, elles peuvent avoir deux types de relation :

Droites parallèles​

Des droites parallèles sont des droites qui ont exactement la même orientation dans l'espace. Ces deux droites ne se croiseront jamais et garderont toujours le même espace entre elles.

Deux droites parallèles d1 et d2, de même orientation, qui ne se croisent jamais

Droites sécantes​

Des droites sécantes sont des droites qui se croisent à un certain endroit dans l'espace. Deux droites sécantes qui se croisent forment des angles. Ces angles peuvent être aigus, obtus ou rectangles. Dans le cas de droites qui forment des angles rectangles, on parle de droites perpendiculaires.

À gauche, deux droites sécantes d1 et d2 qui se croisent en formant des angles quelconques. À droite, deux droites perpendiculaires d1 et d2 qui se croisent en formant un angle rectangle

Deux droites qui se rencontrent forment toujours au moins deux choses, soit un angle et un sommet.

Deux droites qui se croisent, avec le sommet et l'angle formé identifiés

En géométrie, les angles ont plusieurs propriétés intéressantes nous permettant d'inférer plusieurs informations à leur sujet. Voici d'abord un peu de vocabulaire :

Angles adjacents​

Des angles adjacents sont deux angles «voisins» qui partagent un côté et qui ont le même sommet.

Deux angles adjacents (1 et 2) qui partagent un côté et le même sommet

Angles opposés par le sommet​

Des angles opposés par le sommet sont deux angles formés par la continuité des deux mêmes droites au-delà du point de rencontre. Ces deux angles sont isométriques, ils ont donc la même mesure d'angle.

Deux droites qui se croisent en formant deux angles opposés par le sommet, isométriques, identifiés en bleu

Angles complémentaires​

Deux angles complémentaires sont des angles dont la somme de leur ouverture donne 90o^{o}.

Un angle de 30° et un angle de 60° adjacents formant un angle droit, exemple d'angles complémentaires

Angles supplémentaires​

Des angles supplémentaires sont des angles dont la somme de leur ouverture donne 180o^{o}. Ces deux angles reposent habituellement sur une même droite.

Un angle de 120° et un angle de 60° adjacents reposant sur une même droite, exemple d'angles supplémentaires

5.1.2 Les triangles​

Il est possible de classer les triangles selon certaines caractéristiques. Dans notre cas, nous utiliserons deux caractéristiques, soit la mesure des côtés et la mesure des angles

Mesure des côtés​

Triangle équilatéral (tous les côtés isométriques), triangle isocèle (seulement deux côtés isométriques) et triangle scalène (tous les côtés de mesures différentes)

Mesure des angles​

Triangle équiangle (tous les angles isométriques), triangle isoangle (deux angles isométriques) et triangle rectangle (un angle droit) Triangle obtusangle (un angle obtus) et triangle acutangle (tous les angles aigus)
Vidéo 5-5

Exemples et contre-exemples.

Propriétés des triangles​

Les triangles sont parmi les polygones les plus étudiés et utilisés, il existe donc une panoplie de caractéristiques et de propriétés importantes à leur sujet. Dans le cadre de notre cours, nous étudierons trois de ces propriétés.

La somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours de 180o^{o}

Triangle ABC avec les angles 75°, 80° et 25°, où m∠BAC + m∠ACB + m∠CBA = 180°

La mesure d'un angle supplémentaire à un des angles intérieurs est identique à la somme des deux autres angles intérieurs de ce triangle

Triangle ABC prolongé en D, où M∠CAB + m∠ABC = m∠BCD, avec les angles 30°, 95° et 125° identifiés

Dans un triangle isocèle (ou isoangle), les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques entre eux

Triangle isocèle ABC avec un segment AD perpendiculaire à la base, séparant l'angle du sommet A en deux parties égales Triangle isocèle avec les deux angles à la base identifiés comme isométriques
Vidéo 5-6

Exemples des trois propriétés des triangles.

5.1.3 Les quadrilatères​

Le mot quadrilatère fait référence à racines latines. Quadri veut dire quatre et latère veut dire côté. Les quadrilatères sont des formes géométriques à quatre côtés.

Il existe plusieurs formes de quadrilatères, voici les plus communs

Le carré (tous les côtés isométriques, tous les angles rectangles), le rectangle (côtés isométriques en pair, tous les angles rectangles) et le losange (tous les côtés isométriques, angles isométriques en pair) Le trapèze (base et petite base parallèles) et le parallélogramme (côtés isométriques et parallèles en pair, angles isométriques en pair)

Information importante! Tout comme la somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180o^{o}, la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est de 360o^{o}

Quadrilatère ABCD avec les angles 75°, 105°, 75° et 105°, où m∠ABC + m∠BCD + m∠CDA + m∠DAB = 360°

5.1.4 Les polygones de plus de quatre côtés​

Au-delà des triangles et des quadrilatères, nous travaillerons aussi avec d'autres polygones réguliers. Ces formes auront de 5 à 12 côtés mais ces concepts s'appliquent très bien à tout nombre de côtés dans un polygone.

Il faut d'abord apprendre à nommer les polygones réguliers. Nous avons vu plus tôt qu'un polygone régulier à trois côtés s'appelle un triangle équilatéral alors qu'un quadrilatère régulier est un carré. Consulte le tableau suivant pour comprendre le vocabulaire utilisé pour désigner les différents polygones réguliers.

Type de polygone régulierNombre de côtés (n)Nom
Polygone à cinq côtés5Pentagone
Polygone à six côtés6Hexagone
Polygone à sept côtés7Heptagone
Polygone à huit côtés8Octogone
Polygone à neuf côtés9Ennéagone
Polygone à dix côtés10Décagone
Polygone à onze côtés11Hendécagone
Polygone à douze côtés12Dodécagone

Dans le cadre de notre cours, nous utiliserons trois grandes propriétés des polygones réguliers.

La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe régulier est égale à S = (n – 2) x 180o^{o} où «S» représente la somme et «n – 2» représente le nombre de côtés du polygone moins 2.

Hexagone régulier avec chaque angle de 120°, où S = (6-2) x 180° = 4 x 180° = 720°

La somme des angles supplémentaires aux angles intérieurs d'un polygone régulier est toujours de 360o^{o}.

La somme des angles au centre d'un polygone régulier est toujours de 360o^{o}

Hexagone régulier avec un angle intérieur de 120° et son angle supplémentaire de 60°, où 6 x 60° = 360° Pentagone régulier divisé en cinq angles au centre de 72° chacun, où 360° ÷ 5 = 72°