5.5 L'aire des figures décomposables

Maintenant que vous êtes en mesure de bien calculer l'aire de toutes les figures planes, nous pouvons nous attaquer aux figures planes décomposables. Essentiellement, une figure plane décomposable est une forme en deux dimensions qui est composée de plusieurs formes plus simples. Les figures planes peuvent revêtir toutes sortes de formes et être plus ou moins complexes. Calculer l'aire d'une figure décomposable n'est pas particulièrement difficile. Pour y arriver, il suffit d'avoir un mot en tête : ORGANISATION. En effet, la clé pour réussir à tout coup est de savoir organiser sa démarche et mettre en évidence chacun de ses résultats.

On a ici un bel exemple de figure décomposable qui regroupe la plupart des points à surveiller dans une démarche complète. On peut remarquer que cette forme est composée à la base d'un rectangle.

À ce rectangle, on a ajouté un demi-cercle et on a soustrait l'aire d'un triangle.

Cette première analyse est essentielle pour être en mesure de bien calculer l'aire totale de la figure du départ.

Voici comment on doit procéder pour calculer l'aire d'une figure décomposable. Notez bien que cette démarche est obligatoire pour l'obtention de tous les points lors des évaluations.

Exemple — Calculer l'aire d'une figure décomposable

Considérons notre figure initiale à laquelle on a ajouté quelques mesures :

On remarque ici qu'on dispose de la longueur totale de la forme, du rayon du demi-cercle, ainsi que de la hauteur du triangle.

1. Puisqu'il manque encore certaines informations pour pouvoir effectuer tous les calculs d'aire, on doit déduire certaines mesures supplémentaires.

   

   Puisque le double du rayon donne le diamètre d'un cercle, on peut déduire que la hauteur totale de la forme est de 26 cm.

   $$13\ \text{cm} \times 2 = 26\ \text{cm}$$

   Puisque le demi-cercle s'ajoute au bout du rectangle, on peut soustraire le rayon de la longueur totale pour obtenir la longueur du rectangle.

   $$42\ \text{cm} - 13\ \text{cm} = 29\ \text{cm}$$

2. Maintenant que nous disposons de toutes les mesures nécessaires, on commence par décomposer la figure en polygones connus, ici nous aurons le rectangle, le triangle et le cercle. Cette partie de la démarche est la plus importante, c'est ici qu'il faut s'organiser et rendre notre démarche la plus évidente possible.

   Aire du rectangle (A$_{r}$) :

   $$A_r = b \times h \qquad A_r = 29\ \text{cm} \times 26\ \text{cm} \qquad A_r = 754\ \text{cm}^2$$

   Aire du demi-cercle (A$_{dc}$) :

   

   Nous utiliserons d'abord la formule de l'aire d'un cercle

   $$A = \pi r^2 \qquad A = \pi \cdot 13^2 \qquad A = \pi \cdot 169 \qquad A = 530{,}93\ \text{cm}^2$$

   Puisqu'il s'agit d'un demi-cercle, nous pouvons diviser l'aire du cercle par deux.

   $$A_{dc} = 530{,}93 \div 2 \qquad A_{dc} = 265{,}46\ \text{cm}^2$$

   Aire du triangle (A$_{t}$) :

   $$A_t = (b \times h) \div 2 \qquad A_t = (26 \times 23) \div 2 \qquad A_t = 598 \div 2 \qquad A_t = 299\ \text{cm}^2$$

3. Maintenant que nous connaissons l'aire de chacune des parties de la figure, on doit mettre en commun ces données. C'est une étape cruciale qui demande de retrouver exactement les bonnes données de l'étape précédente.

   $$A_{totale} = A_r + A_{dc} - A_t \qquad A_{totale} = 754 + 265{,}46 - 299 \qquad A_{totale} = 720{,}46\ \text{cm}^2$$

Nous obtenons ainsi une aire totale de 720,46 cm²

Exercice :

Détermine l'aire totale du carré «troué» (partie mauve et bleu) suivant puis corrige-toi à l'aide de la vidéo.

Vidéo 5.5 – 1