3.1 Introduction aux expressions algébriques

Une expression algébrique est une expression formée tant de nombres que de lettres. Les lettres portent le nom de variables alors que les nombres peuvent jouer deux rôles, celui de coefficient lorsqu'ils multiplient une variable ou de constante lorsqu'ils s'additionnent ou se soustraient à une expression.

Note importante

En algèbre, un coefficient placé à côté d'une variable est lié par une multiplication. Par exemple, l'expression $3a + 14$ s'écrirait $3 \times a + 14$. Avec cet exemple, on comprend que le symbole $\times$ pourrait être confondu avec la variable $x$, c'est pourquoi on préfère remplacer le symbole de la multiplication par un point (•) ou simplement en écrivant un coefficient directement à côté d'une variable. Ainsi, on peut écrire $3a + 14$ ou encore $3 \cdot a + 14$ sans confusion.

Une expression algébrique est constituée de termes. Un terme est une portion d'une expression algébrique délimitée par une addition ou une soustraction.

3.1.1 – Caractéristiques des expressions algébriques

Il existe différents types d'expressions algébriques qu'on nomme selon le nombre de termes qu'elles comportent et qui se caractérisent par le plus grand exposant (le degré) qui est présent dans l'expression.

Nombre de termes

Monômes	Polynômes
Expressions formées d'un seul terme	Expressions formées de plusieurs termes

Binômes (deux termes)	Trinômes (trois termes)	Polynômes (quatre termes ou plus)
$4x^2y$	$3x + 7$	$24w^3x + 2a + 4$

Degré

Degré d'une expression algébrique	Exemple
Degré d'un monôme à une seule variable — Lorsqu'un monôme a une seule variable, le degré de l'expression correspond à l'exposant de cette variable.	$4d$ est un monôme de degré 1 $3x^2$ est un monôme de degré 2 $y^3$ est un monôme de degré 3
Degré d'un monôme à plusieurs variables — Lorsqu'un monôme a plusieurs variables, le degré correspond à la somme des exposants des variables.	$4xy$ est un monôme de degré 2 $3wz^2$ est un monôme de degré 3 $a^2b^3$ est un monôme de degré 5
Degré d'un polynôme — Le degré d'un polynôme correspond au degré du monôme de l'expression qui a le degré le plus élevé.	$2a + 13$ est un polynôme de degré 1 $3xy + 4z$ est un polynôme de degré 2 $7w^4z^2 + 8x^3z^2$ est un polynôme de degré 6

3.1.2 – Écriture des expressions algébriques

Lorsque vient le temps d'écrire une expression algébrique, il faut respecter certaines règles.

• On place toujours le coefficient devant les variables

  ex : $3y$ plutôt que $y3$

• Quand le coefficient est 1 ou -1, on écrit seulement le symbole du coefficient

  ex : $-x$ plutôt que $-1x$

• Dans un terme, on place les variables en ordre alphabétique

  ex : $4xyz$ plutôt que $4zxy$

• On place les termes en ordre décroissant de degré, donc du plus grand degré au plus petit

  ex : $3x^3y + 4y^2 + z$ plutôt que $4y^2 + 3x^3y + z$

• Si deux termes ont le même degré, on les place en ordre alphabétique

  ex : $-a + 3b$ plutôt que $3b + -a$

3.1.3 – Traduire une situation par une expression algébrique

Plusieurs situations peuvent être traduites par une expression algébrique. Cette partie de la matière est souvent très difficile pour les élèves, il est donc important de porter attention à cette section.

Comment traduire une situation en expression algébrique

Voici un exemple de situation qu'il est possible de traduire par une expression algébrique.

Maxime possède 12 cartes de hockey de plus que de cartes de baseball, il possède un total de 32 cartes.

1. Il faut d'abord bien lire la situation et identifier les informations importantes.

   • On ne connaît pas le nombre de cartes de baseball
   • Il a plus de cartes de hockey
   • Il a 12 cartes de hockey de plus que de baseball
   • Il a un total de 32 cartes

2. On présente par une variable la donnée pour laquelle nous avons le moins d'information.

   • On ne connaît pas le nombre de cartes de baseball
   • On sait qu'il a 12 cartes de hockey de plus que de baseball
   • On connaît donc plus d'information sur les cartes de hockey
   • On dira donc qu'il a $b$ cartes de baseball

3. On présente les autres données en fonction de la variable choisie précédemment.

   • Puisque les cartes de baseball sont maintenant $b$
   • nous dirons que les cartes de hockey sont $b + 12$

4. On présente toutes les informations sous forme d'expressions algébriques.

   • Cartes de baseball : $b$
   • Cartes de hockey : $b + 12$
   • Cartes de hockey + baseball = 32

5. On construit une expression algébrique qui regroupe toutes les expressions de la situation.

$$b + (b + 12) = 32$$

Quelques mots clés en exemple

Opération	Mots clés pouvant l'indiquer
Addition	Somme, total, plus, de plus que, en plus, en tout, ensemble, ajouté de, augmenté, etc.
Soustraction	Différence, moins, de moins que, en moins, enlevé, retranché, ôté, diminué, reste, etc.
Multiplication	Produit, fois, double, triple, quadruple, doublé, triplé, … fois de plus que, carré, cube, etc.
Division	Quotient, partagé, part, séparé, moitié, demie, tiers, quart, fois moins que, etc.