5.2 L'aire des polygones

Qu'est-ce qu'une aire? L'aire d'un objet est la mesure de sa (ou ses) surface(s) plane(s). On peut penser à l'aire d'une forme comme étant la quantité de peinture qu'il faudrait pour la recouvrir, ou la quantité de papier cadeau qu'il faudrait pour emballer une boîte. On utilise des unités de mesure au carré (donc avec un exposant 2) pour exprimer des aires (ex : cm², m², km², etc.)

5.2.1 Calcul de l'aire des polygones

On peut utiliser les formules suivantes pour calculer l'aire des polygones. Les formules varient d'une forme à une autre.

Carré

L'aire est le produit de la mesure d'un de ses côtés (c).

$$A = c \cdot c \qquad \text{ou} \qquad A = c^2$$

Rectangle

L'aire est le produit de sa base (b) et de sa hauteur (h).

$$A = b \cdot h$$

Triangle

L'aire est le produit de sa base et de sa hauteur, divisé par deux.

$$A = \dfrac{b \cdot h}{2}$$

Parallélogramme

L'aire est le produit de sa base et de sa hauteur, comme un rectangle.

$$A = b \cdot h$$

Losange

L'aire est le produit de sa grande diagonale (D) et de sa petite diagonale (d), divisé par deux.

$$A = \dfrac{D \cdot d}{2}$$

Trapèze

L'aire est le produit de la moyenne de ses bases et de sa hauteur.

$$A = \dfrac{(B+b)}{2} \times h$$

5.2.2 Calcul de l'aire des polygones à plus de quatre côtés

Le calcul des polygones à plus de quatre côtés introduit une nouvelle notion, celle de l'apothème. L'apothème d'un polygone est un segment joignant le centre du polygone et le milieu d'un de ses côtés. L'apothème est utilisé pour le calcul de l'aire de ces polygones.

On calcule l'aire d'un polygone régulier à plus de quatre côtés à l'aide de la formule suivante :

$$A = \dfrac{n \cdot c \cdot a}{2}$$

où n représente le nombre de côtés du polygone, c représente la mesure d'un côté du polygone et a représente la mesure de l'apothème

Ex :

On pourrait aussi utiliser une formule condensée qui transforme le nombre de côtés (n) et la mesure d'un côté (c) en périmètre (p). Cette formule modifiée ressemble à ceci :

$$A = \dfrac{p \cdot a}{2}$$

5.2.3 Extraire une mesure à partir de l'aire

À l'aide de vos habiletés algébriques, il est maintenant possible d'extraire des informations manquantes à partir de formules d'aires. Avec la technique des opérations inverses, on peut déterminer une mesure manquante lorsque l'aire d'une figure est connue.

Voici comment faire :

Exemple — Trouver une mesure manquante à partir de l'aire

Considérons la situation suivante :

Dans cette situation, on connaît l'aire du triangle et la mesure de sa base mais on ignore sa hauteur.

1. On doit d'abord écrire la formule de l'aire d'un triangle et y inscrire les informations connues.

   

2. On isole ensuite la variable (b) à l'aide de la technique des opérations inverses.

   

La hauteur mesure donc 8 cm!

Exercice : Détermine la mesure manquante dans la figure suivante