1.1 – La distance entre deux points

Dans plusieurs domaines, les plans cartésiens sont utilisés pour illustrer l'emplacement de certains objets, structures, animaux ou même personnes dans un espace donné.

Par exemple, les arpenteurs géomètres utilisent leurs instruments pour établir les distances entre certaines structures ou repères afin d'établir les plans d'implantations des propriétés résidentielles ou commerciales.

Pour calculer la distance séparant deux points d'un plan cartésien, il existe deux méthodes très efficaces. La méthode du triangle et la formule. Nous utiliserons un exemple concret pour démontrer l'utilisation de ces deux techniques.

1.1.1 – La formule de la distance entre deux points

La formule mathématique pour calculer la distance entre deux points est la suivante :

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Démontrons d'abord l'utilisation de la formule :

Considérons la situation suivante :

On cherche à connaître la distance qui sépare le point A et le point B

1. On commence par déterminer les coordonnées de nos deux points.

Puisque le point A est le plus à gauche, il sera considéré comme (x1, y1).

Le point B sera donc considéré comme (x2, y2)

A sera donc (-2, 3) et B sera (5, 6)

2. On place les informations connues dans la formule.

Une fois remplie, la formule

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

devient

$d = \sqrt{(5 - -2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(7)^2 + (3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} = 7{,}61$

On obtient donc une distance de 7,61 unités entre les points A et B

1.1.2 – La technique du triangle

La deuxième méthode pour établir la distance entre deux points est basée sur le théorème de Pythagore. Pour y arriver, on relie les deux points dans un triangle rectangle et on calcule la valeur de l'hypoténuse.

Rappel

La formule du théorème de Pythagore est

$a^2 + b^2 = c^2$

où a et b sont les cathètes et c est l'hypoténuse

Reprenons l'exemple de tout à l'heure pour illustrer la méthode :

1. On commence par tracer un triangle rectangle en suivant le quadrillage du plan cartésien

2. On calcule ensuite la longueur de chaque cathète du triangle.

3. On applique alors la formule de Pythagore pour calculer la longueur de l'hypoténuse.

$a^2 + b^2 = c^2$ $7^2 + 3^2 = c^2$ $49 + 9 = c^2$ $58 = c^2$ $7{,}61 = c$

On obtient donc que la distance entre les deux points est (encore une fois) 7,61 unités.

On peut donc constater que les deux méthodes mènent au même résultat, il en revient donc à votre préférence personnelle pour choisir la méthode que vous désirez utiliser au cours de l'année.