9.1 Introduction

Pour ce dernier chapitre de l'année, nous nous intéresserons à un domaine très intéressant des mathématiques : celui des probabilités.

On retrouve des probabilités dans toutes sortes de domaines et le fait de posséder des compétences et des connaissances dans ce domaine vous sera utile toute votre vie. Dans ce chapitre, nous découvrirons le vocabulaire de base et nous apprendrons à faire les calculs de base.

9.1.1 Les expériences aléatoires

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est imprévisible ; il est déterminé par le hasard. Les probabilités s'intéressent particulièrement à ce genre d'expérience. Même si les résultats de ces expériences sont aléatoires, on peut calculer la probabilité qu'un certain évènement se produise.

Probabilité : La probabilité d'une expérience aléatoire est une valeur (entre 0 et 1 ou encore entre 0% et 100%) qui indique la possibilité d'obtenir ce résultat. Lorsqu'on dit qu'il annonce 30% de possibilités de précipitations, on parle de la probabilité qu'il pleuve cette journée-là.

Évènement : Un évènement est un sous-ensemble de l'ensemble des possibilités d'une expérience aléatoire.

Ex : L'évènement «obtenir Face» lors du lancer d'une pièce de monnaie constitue un évènement.

Les évènements peuvent être soit élémentaires (ne contiennent que 1 élément) ou composés (contiennent plus d'un élément). Par exemple, obtenir un 3 lors du lancer d'un dé est un évènement élémentaire alors qu'obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6) est un évènement composé.

En probabilité, on désigne l'ensemble des résultats d'une expérience par le terme univers des possibles.

Univers des possibles : L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.

On représente l'univers des possibles par la lettre grecque Oméga (Ω).

Ex : L'univers des possibles lors du lancer d'un dé à 6 faces est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

9.1.2 La probabilité des évènements

Comme mentionné plus haut, la probabilité d'un évènement est une valeur entre :

• 0 et 1 lorsqu'elle est exprimée en valeur décimale
• 0% et 100% lorsqu'elle est exprimée en pourcentage

Plus la valeur de la probabilité est grande (près de 1 ou de 100%) plus l'évènement a des chances de se produire. Plus la valeur de la probabilité est petite (près de 0 ou 0%), plus l'évènement risque de ne pas se produire. On peut même dire qu'un évènement dont la probabilité est de 0 (ou 0%) est impossible. Avec la même idée, un évènement dont la probabilité est de 1 (ou 100%) est assuré de se produire.

On calcule la valeur d'une probabilité en divisant le nombre d'évènements favorables ou souhaités par l'univers des possibles pour cette expérience.

$$\text{Probabilité} = \dfrac{\text{Nombre de résultat(s) favorable(s)}}{\text{Univers des possibles}}$$

Calculons ensemble une probabilité

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair lors du lancer d'un dé à 6 faces?

1. On commence par compter le nombre d'évènements favorables à l'évènement.

   On sait que sur un dé à 6 faces, les nombres 2, 4 et 6 sont pairs. On a donc 3 résultats qui sont favorables à notre évènement d'obtenir un nombre pair.

2. On compte ensuite le nombre de résultats dans l'univers des possibles.

   On sait qu'un dé à 6 faces est numéroté de 1 à 6. Donc, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. On a donc 6 résultats dans l'univers des possibles.

3. On calcule la valeur de la probabilité.

   $$\text{Probabilité(nombre pair)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \text{ ou } 0{,}5$$

   On peut obtenir la probabilité en pourcentages (%) en multipliant la réponse décimale (0,5) par 100.

   $$P = 0{,}5 \times 100 = 50\%$$

   On a donc une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ ou 0,5 ou encore 50% d'obtenir un nombre pair en lançant un dé à 6 faces.

Exercice

Quelle est la probabilité de tirer une carte de trèfle entre 2 et 8 dans un jeu de 52 cartes à jouer?