5.3 Les dimensions des cercles

Cette année, nous aurons aussi l'occasion de travailler avec les cercles. Par sa nature courbe et inégale, les dimensions d'un cercle sont plus complexes à trouver. Heureusement, il existe plusieurs méthodes pour calculer toutes les mesures relatives à un cercle.

5.3.1 Le vocabulaire du cercle

Dans un cercle, plusieurs composantes peuvent être définies par de nouveaux termes. Les plus importantes sont identifiés dans l'illustration ci-dessus.

Terme	Définition
Circonférence	La circonférence est la longueur ou le périmètre d'un cercle. On peut simplement dire que c'est le tour du cercle.
Diamètre	Le diamètre est une droite qui passe d'un côté à l'autre du cercle en passant par son centre. C'est la plus longue corde possible à l'intérieur d'un cercle
Rayon	Le rayon est une droite qui rejoint le centre du cercle avec n'importe quel point sur la circonférence. La mesure du rayon est exactement la moitié de celle du diamètre.
Centre	Le centre est l'origine du cercle. Tous les points sur la circonférence sont à égale distance de celui-ci. On place la pointe d'un compas au centre du cercle pour le tracer.
Corde	Une corde est un segment qui relie deux points d'un cercle sans nécessairement passer par le centre.

5.3.2 Tracer un cercle

Lorsque l'on dispose des bons outils (une règle, une équerre et un compas), il est simple de tracer des cercles, peu importe la situation de départ. Il existe essentiellement trois situations où vous aurez à tracer un cercle, nous les couvrirons ici.

1. Tracer un cercle à partir du centre et d'un point

Pour tracer un cercle à partir du centre et d'un point, il suffit de suivre les étapes suivantes :

1. Puisque la distance entre le centre du cercle et un point du cercle représente le rayon d'un cercle, on utilisera la distance entre ces deux points pour ouvrir le compas.

   

2. On place la pointe sèche (le bout piquant) du compas au centre et on dépose la mine du crayon sur le point A.

   

3. On trace le cercle d'un trait sans déplacer la pointe sèche

   

2. Tracer un cercle à partir de deux points et du rayon du cercle

Lorsque deux points font partie du même cercle, ils sont à la même distance du centre (cette distance est le rayon). On utilise cette propriété pour tracer le cercle.

On suit les étapes suivantes pour tracer un cercle à partir de deux points

1. On trace une ligne reliant les deux points

   

2. On trace la médiatrice de cette ligne. Rappel : la médiatrice est un segment perpendiculaire au centre d'une droite. On utilise une règle pour trouver le point milieu et une équerre pour tracer la droite perpendiculaire.

   

3. On place le compas avec la bonne ouverture (l'ouverture correspondant au rayon, ici 5cm) sur la médiatrice et un des points. La pointe sèche sur la médiatrice et la mine sur le point.

   

4. On trace le cercle (on remarque que le cercle passe par les deux points initiaux)

   

3. Tracer un cercle à partir de trois points non alignés

Cela peut sembler farfelu mais il est possible de tracer un cercle à partir de n'importe quels trois points si ceux-ci ne sont pas alignés.

Pour y arriver, on suit la démarche suivante :

1. D'une manière similaire à la démarche précédente, on relie les points adjacents par un trait.

   

2. On trace les médiatrices de ces deux traits.

   

3. On place la pointe sèche du compas à l'intersection des deux médiatrices et la mine sur l'un des trois points.

   

4. Tracer le cercle. Encore une fois, le cercle passe par les trois points initiaux.

   

5.3.3 Calculer la circonférence d'un cercle

En raison de la courbure et de l'inégalité du cercle, il serait très difficile de calculer la circonférence exacte d'un cercle sans un peu d'aide. Heureusement, plusieurs civilisations ont rencontré ce problème avant nous et beaucoup d'entre elles ont observé qu'il existait un rapport constant entre le diamètre d'un cercle et sa circonférence, ce rapport donne toujours la valeur $\pi$ (pi).

Vidéo

Vidéo explicatif.

En utilisant pi et en l'intégrant à une formule qui lie le diamètre et la circonférence, on peut dériver deux formules cruciales :

$$C = \pi \cdot d$$

où C représente la circonférence et d le diamètre

$$C = 2 \cdot \pi \cdot r$$

où r représente le rayon du cercle

À l'aide de ces deux formules, on peut donc calculer la circonférence d'un cercle.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Panoramath Vol. 2

• p. 49 #1 à 6, 8, 10, 12, 14, 19, 20 et 22