2.1 Mise en contexte

Plusieurs situations de la vie courante peuvent être représentées par des relations mathématiques. Dans ce chapitre, nous nous familiariserons avec un ensemble de systèmes de référence qui nous permettent de transcrire une situation réelle en représentation mathématique. Ceci nous permettra d'extraire davantage d'information et d'extrapoler.

Extrapoler : Généraliser à partir de données partielles

Dans cette première section, nous nous familiariserons avec trois termes importants : les taux, les rapports et les proportions.

2.1.1 Les rapports

Un rapport est une comparaison de deux valeurs de même nature. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une comparaison de deux nombres qui ont la même unité de mesure.

Ex : Cette recette demande d'ajouter 100g de farine pour chaque 250g de sucre.

Dans cet exemple, nous pouvons exprimer le rapport comme 100 : 250 ou comme une fraction 100/250.

Ex 2 : Dans la classe, il y a 12 filles et 16 garçons.

Dans cet exemple, on exprime le rapport comme 12 : 16 ou 12/16

Contre-exemple : Il y a 60 secondes dans une minute. Cette situation n'est pas un rapport puisque 60 secondes et une minute n'ont pas les mêmes unités de mesure (secondes et minutes).

Lorsque deux nombres liés ensemble par une situation ne sont pas représentés par les mêmes unités de mesure, il ne s'agit pas d'un rapport mais plutôt d'un taux.

2.1.2 Les taux

Un taux est une comparaison entre deux valeurs de nature différente. On peut dire qu'un taux met en relation deux nombres qui n'ont pas les mêmes unités de mesure.

Ex : J'ai payé 60,45$ pour 39L d'essence.

Ici, on exprimera le taux comme 60,45$/39L

Ex 2 : Un train parcourt 350km en 2,5h.

Ici, on exprimera le taux comme 350km/2,5h

Vous remarquerez que dans les taux, on indique toujours les unités de mesure des valeurs présentées, contrairement aux rapports de la section 2.1.1

Un taux unitaire est un taux dont le dénominateur a une valeur de 1. Dans la vie quotidienne, on utilise beaucoup de taux unitaires.

Nous reprendrons nos deux exemples précédents en les transformant en taux unitaires. Pour transformer un taux en taux unitaire, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Ex : J'ai payé 60,45$ pour 39L d'essence

60,45$/39L

$$60{,}45 \div 39 = 1{,}55$$

J'ai donc payé 1,55$ par litre d'essence (1,55$/L)

Ex 2 : Un train parcourt 350km en 2,5h

350km/2,5h

$$350 \div 2{,}5 = 140$$

Le train parcourt 140km par heure (140km/h)

2.1.3 Les proportions

Une proportion est une relation d'égalité entre deux rapports ou deux taux. Pour former une proportion, deux taux doivent être équivalents (avoir la même valeur).

L'exemple du train de tout à l'heure est une proportion :

Un train qui se déplace de 350km en 2,5h se déplace à la même vitesse qu'un train qui se déplace de 280km en 2h.

Pour vérifier si deux taux ou rapports sont proportionnels, on peut mettre les deux rapports sur un dénominateur commun (ici, on utilise le taux unitaire, donc un dénominateur de 1, pour comparer les deux taux). Il est aussi possible d'utiliser une propriété fondamentale des proportions pour vérifier si deux rapports sont proportionnels.

Une proportion contient toujours quatre termes. Le plus grand terme et le plus petit terme sont appelés les extrêmes alors que les deux autres termes sont appelés les moyens.

Dans une proportion, le produit (la multiplication) des extrêmes est toujours égal au produit des moyens.

Cette caractéristique des proportions nous permet non seulement de découvrir si deux taux sont proportionnels, elle nous permet aussi d'effectuer un produit croisé pour découvrir une valeur manquante dans une situation de proportionnalité. Le produit croisé est sans doute l'un des «trucs» mathématiques les plus utiles que vous verrez de votre vie!

Vidéo 2.1 – Vérifier une proportionnalité

2.1.4 Le produit croisé

Pour effectuer un produit croisé, il suffit de suivre la démarche suivante. Attention!! Le produit croisé ne fonctionne que dans les situations de proportionnalité!!

Étapes pour effectuer un produit croisé

1. Placer les trois valeurs connues dans une comparaison en fraction. S'assurer que les unités de mesure semblables sont côte à côte ou l'une par dessus l'autre. Personnellement, je les place toujours côte à côte.

Mise en situation : Si un train se déplace de 350km en 2,5h, de quelle distance pourra-t-il se déplacer en 7,3h?

$$\dfrac{350\,\text{km}}{2{,}5\,\text{h}} = \dfrac{?\,\text{km}}{7{,}3\,\text{h}}$$

2. Une fois les informations placées correctement, il faut débuter le produit croisé en «croisant» à partir de la valeur associée à l'inconnu (ici, le 7,3 h est associé à l'inconnu). Cette opération implique une multiplication.

$$7{,}3 \times 350 = 2555$$

3. Il faut ensuite passer du deuxième facteur impliqué dans l'étape précédente au terme qui lui est associé. Cette opération implique une division.

$$2555 \div 2{,}5 = 1022$$

4. Le résultat obtenu lors de la division vient se placer à la place de l'inconnu et complète ainsi le produit croisé. Il est possible de vérifier sa réponse à l'aide du produit des extrêmes et des moyens.

Le train parcourrait donc 1022 km en 7,3 h.