5.4 L'aire des cercles

Maintenant que vous maîtrisez l'essentiel du vocabulaire des cercles, nous pouvons discuter de l'aire des cercles, soit au total ou en partie. Dans cette section, nous discuterons du calcul de l'aire totale d'un cercle mais aussi du calcul d'une section d'un cercle. Comme vous le verrez, ces deux opérations ne sont pas très complexes.

5.4.1 Le calcul de l'aire des cercles

Contrairement au calcul de la circonférence, seulement une formule peut être utilisée pour calculer l'aire d'un cercle. Encore une fois, cette formule fait appel à la valeur $\pi$.

La formule de l'aire du cercle est :

$$A = \pi \cdot r^2$$

où A représente l'aire du cercle et r représente le rayon du cercle

Voici comment calculer l'aire d'un cercle :

Exemple — Calculer l'aire d'un cercle

Considérons le cercle suivant dont le rayon est de 5cm

1. On commence par écrire la formule vide et on y inscrit ensuite les données connues

   $$A = \pi \cdot r^2 \qquad A = \pi \cdot 5^2$$

2. On effectue le calcul en tenant compte des priorités d'opérations (PEMDAS)

   $$A = \pi \cdot 5^2 \qquad A = \pi \cdot 25$$

L'aire du cercle est donc de 78,54 cm$^{2}$

Comme c'était le cas avec la circonférence des cercles, il est possible de calculer le rayon (et donc n'importe quelle autre mesure du cercle) à partir de l'aire. On utilisera la «technique des opérations inverses» pour y arriver.

Calculer le rayon d'un cercle à partir de son aire :

Exemple — Calculer le rayon d'un cercle à partir de son aire

Considérons le cercle suivant :

1. On commence par écrire la formule vide et on y inscrit ensuite les données connues

   $$A = \pi \cdot r^2 \qquad 100 = \pi \cdot r^2$$

2. On isole la variable r avec la technique des opérations inverses

   

On obtient donc un rayon de 5,64 cm

5.4.2 Les secteurs des cercles

Alors que les calculs relatifs à des sections de polygones sont plus simples, que ce soit pour le périmètre ou l'aire, ces calculs deviennent moins évidents avec les cercles. Pour cette raison, nous utiliserons le concept du secteur d'un cercle.

Secteur : Le secteur d'un cercle est une partie du cercle établie par l'angle au centre de cette partie. Alors que le cercle entier représente 360$^{o}$, un secteur représente un angle plus faible (entre 1$^{o}$ et 359$^{o}$).

On peut utiliser le secteur d'un cercle pour calculer l'arc d'un secteur ou encore l'aire d'un secteur.

Arc d'un secteur : L'arc d'un secteur représente la partie de la circonférence d'un cercle qui correspond au secteur du cercle.

Pour calculer l'arc d'un secteur, on combine le calcul de la circonférence ($C = 2\pi r$   ou   $C = \pi d$) et le calcul de proportions (produit croisé – Chapitre 2.1). On pourra utiliser la formule suivante :

$$\dfrac{\text{Circonférence du cercle}}{360\ \text{degrés}} = \dfrac{\text{Arc du secteur}}{\text{Angle du secteur}}$$

Pour calculer l'aire d'un secteur, la technique est très semblable à celle de l'arc d'un secteur. On combine le calcul de l'aire d'un cercle ($A = \pi r^2$) et les proportions. On pourra alors utiliser la formule suivante :

$$\dfrac{\text{Aire du cercle}}{360\ \text{degrés}} = \dfrac{\text{Aire du secteur}}{\text{Angle du secteur}}$$

Puisque les techniques sont similaires, voici comment procéder pour calculer l'aire d'un secteur :

Exemple — Calculer l'aire d'un secteur

Considérons le cercle suivant :

1. Calculer l'aire du cercle (ou la circonférence du cercle pour le calcul de l'arc)

   $$A = \pi r^2 \qquad A = \pi \cdot 6^2 \qquad A = \pi \cdot 36 \qquad A = 113{,}10\ \text{cm}^2$$

2. Calculer l'aire du secteur

   $$\dfrac{\text{Aire du cercle}}{360\ \text{degrés}} = \dfrac{\text{Aire du secteur}}{\text{Angle du secteur}}$$

Aire du secteur = 37,7 cm²

Exercice : Calcule l'arc et l'aire du secteur suivant puis vérifie ta réponse à l'aide de la vidéo

Vidéo 5.4 – 1