4.2 La résolution d'équations algébriques à une inconnue

Être en mesure de traduire une situation donnée en une équation algébrique est amusant mais, d'un point de vue mathématique, il est bien plus intéressant de pouvoir utiliser cette équation algébrique pour résoudre la situation. Dans cette section, il sera question des différentes méthodes qu'il est possible d'utiliser pour résoudre des équations algébriques. Comme nous le verrons, plusieurs de ces techniques sont plus laborieuses alors que d'autres sont plus efficaces.

Comme présenté dans la section 4.1, résoudre une équation algébrique revient à déterminer la valeur de l'inconnue (ou la variable) qui permet de vérifier l'égalité présentée.

Par exemple

$4a - 15 = 17$

pour que cette égalité fonctionne, $a$ doit valoir 8

$4 \cdot 8 - 15 = 17$

$32 - 15 = 17$

$17 = 17$

On comprend donc que la solution de l'équation de départ est $a = 8$

4.2.1 Les méthodes de résolution

Essais et Erreurs

Malgré son manque flagrant d'efficacité, je me dois de vous présenter la méthode Essais et Erreurs pour la résolution d'équations algébriques. En effet, cette méthode peut se montrer utile lorsque les équations sont simples mais elle devient rapidement inutile face à des équations plus complexes.

Essentiellement, cette méthode consiste à placer une valeur aléatoire à la place de la variable et vérifier par la suite si l'égalité est respectée.

Par exemple, prenons l'équation $9x + 10 = 4x + 25$

1$^{er}$ essai : $x = 2$	2$^{e}$ essai : $x = 5$	3$^{e}$ essai : $x = 3$
$9x + 10 = 4x + 25$ $9 \cdot 2 + 10 = 4 \cdot 2 + 25$ $18 + 10 = 8 + 25$ $28 \neq 33$	$9x + 10 = 4x + 25$ $9 \cdot 5 + 10 = 4 \cdot 5 + 25$ $45 + 10 = 20 + 25$ $55 \neq 45$	$9x + 10 = 4x + 25$ $9 \cdot 3 + 10 = 4 \cdot 3 + 25$ $27 + 10 = 12 + 25$ $37 = 37$

Évidemment, la résolution d'équation par cette méthode peut littéralement prendre une éternité. Elle peut être relativement rapide lorsque la valeur de l'inconnue est un nombre entier assez simple mais elle est infiniment longue lorsque la valeur de l'inconnue est un nombre décimal.

Terme Caché

La méthode du terme caché est une méthode basée sur l'utilisation d'une équation plus simple pour démarrer la démarche de résolution. Une fois la démarche entamée, on retourne graduellement vers une équation plus complexe pour déterminer la valeur de l'inconnue.

Encore une fois, cette méthode peut bien fonctionner face à des équations simples mais perd aussi en efficacité lorsque les équations se compliquent. Elle est toutefois plus pertinente que la méthode Essais et Erreurs.

Par exemple, utilisons l'équation

$\dfrac{5a}{3} - 12 = 8$

Méthode du terme caché

1. On masque tout le terme portant la variable et on cherche sa valeur.

   $\dfrac{5a}{3} - 12 = 8$

   deviendra

   $X - 12 = 8$

   il est alors plus facile de déterminer la valeur de $X$

   $20 - 12 = 8$

   $X$ vaut donc 20

2. Puisqu'on sait maintenant que $\dfrac{5a}{3}$ vaut 20, on remplace seulement $5a$ par une inconnue

   

3. Puisqu'on sait maintenant que $5a$ vaut 60, on peut maintenant trouver la valeur de $a$

   $5a = 60$

   $5 \cdot 12 = 60$

   $a$ vaut donc 12

4. On vérifie notre réponse dans l'équation de départ

   

Opérations inverses

Voici une déclaration très sérieuse : La méthode des opérations inverses est sans doute l'une des 3 techniques mathématiques les plus utiles que vous verrez cette année. Cette méthode vous sera utile tout au long de votre parcours scolaire et fort probablement le reste de votre vie. Vous comprendrez alors qu'il est important de porter une attention particulière à ce passage.

Avant de vous montrer la technique, il est important de se rafraîchir la mémoire sur deux concepts importants.

D'abord, les priorités d'opérations. Comme nous l'avons révisé cette année, le PEMDAS est un truc qui nous aide à penser à exécuter les opérations mathématiques dans le bon ordre lorsque vient le temps de simplifier une chaîne d'opérations. Le PEMDAS sera à nouveau utile ici mais à l'envers.

Ensuite, il est important de bien visualiser l'ensemble des opérations mathématiques que nous connaissons et particulièrement les opérations qui sont mutuellement inverses.

Essentiellement, la démarche des opérations inverses consiste à réduire une équation algébrique de manière à isoler la variable (ou l'inconnue). Pour y arriver, on élimine ou déplace tout ce qui accompagne la variable de manière à garder seulement celle-ci d'un côté de l'égalité. Durant le processus, on s'occupe d'abord des Additions et Soustractions, ensuite des Multiplications et Divisions et finalement des Exposants. Comme mentionné plus tôt, on fait le PEMDAS à l'envers. Pour maintenir l'égalité, il faut faire attention de toujours effectuer les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité.

Voici comment faire :

Méthode des opérations inverses

Considérons l'équation suivante :

$3x^2 + 6 = 81$

1. On s'assure d'abord que toutes nos variables se retrouvent d'un seul côté de l'égalité.

   $3x^2 + 6 = 81$

   ici, on a une seule variable, l'étape 1 est déjà réglée

2. En utilisant le PEMDAS inverse, on élimine tous les nombres qui accompagnent notre variable en commençant par les additions ou soustractions.

   $3x^2 + 6 = 81$

   On commence alors par éliminer $+6$

   Pour éliminer $+6$, on effectue l'opération inverse, soit $-6$

   

   On obtient donc

   $3x^2 = 75$

3. En utilisant le PEMDAS inverse, on élimine maintenant les Multiplications et Divisions

   $3x^2 = 75$

   On élimine donc le 3 qui effectue ici une multiplication

   Pour éliminer le $\times 3$, on effectue une division par 3 des deux côtés de l'égalité

   

   On obtient donc

   $x^2 = 25$

4. En utilisant le PEMDAS inverse, on élimine maintenant les exposants.

   $x^2 = 25$

   On élimine donc le 2 qui occupe la position d'exposant

   Pour éliminer l'exposant, on effectue l'opération inverse soit la racine carrée

   $\sqrt{x^2} = \sqrt{25}$

   On obtient donc

   $x = 5$

Essaie de résoudre l'équation suivante et corrige-toi avec la vidéo

$8z - 28 = 4z + 6$

Vidéo Sec 2 – 4.2 - 2