7.1 L'homothétie et ses propriétés

Au cours des dernières années, vous avez appris à effectuer plusieurs transformations géométriques. Ces transformations seront laissées de côté cette année mais plusieurs concepts associés à cette matière se transposent à la nouvelle matière. C'est pourquoi nous commencerons par quelques rappels.

7.1.1 Rappels

L'an passé, vous avez maîtrisé la réflexion, la translation et la rotation.

Réflexion et translation :

Rotation :

Lorsqu'on effectue ces transformations géométriques, on modifie l'emplacement (translation), l'orientation (rotation) et le sens (réflexion) des figures impliquées. Par contre, les figures images demeurent toujours isométriques à la figure initiale. Les côtés et les angles homologues sont donc toujours isométriques.

Figure initiale et figure image

Dans une transformation géométrique, la figure initiale est la figure présente au départ qui subit la transformation (Triangle ABC). La figure image est celle qui est générée à la suite de la transformation (Triangle A'B'C').

Homologue

Les côtés et les angles homologues sont des structures de deux figures géométriques qui correspondent l'une à l'autre. Dans les illustrations plus haut, le sommet A' est homologue au sommet A.

Isométrique

Deux éléments isométriques entre eux sont deux éléments qui ont la même mesure. On peut dire que deux côtés sont isométriques s'ils ont la même mesure. On peut aussi dire que deux angles sont isométriques s'ils ont la même ouverture.

7.1.2 L'homothétie

Une homothétie est une transformation géométrique qui permet d'associer une figure initiale à une figure image à partir d'un centre O (appelé centre d'homothétie). L'homothétie produira une figure image semblable à la figure initiale mais aux dimensions différentes. La figure est donc un agrandissement ou une réduction exacte de la figure initiale.

7.1.3 Le rapport d'homothétie

Le rapport d'homothétie (k) est le rapport d'agrandissement ou de réduction de la figure image.

On obtient le rapport d'homothétie en établissant le rapport entre deux points homologues et le centre ou en établissant le rapport entre la mesure de deux côtés homologues.

On obtient donc les formules suivantes :

$k = \dfrac{\text{Distance entre } O \text{ et le point } A'}{\text{Distance entre } O \text{ et le point } A} = \dfrac{m\,\overline{OA'}}{m\,\overline{OA}}$

ou

$k = \dfrac{\text{mesure du segment } A'B'}{\text{mesure du segment } AB} = \dfrac{m\,\overline{A'B'}}{m\,\overline{AB}}$

Les deux méthodes permettent d'établir le même rapport d'homothétie, ces deux formules sont donc équivalentes.

On peut tirer quelques informations pertinentes lorsqu'on connaît le rapport d'homothétie (aussi appelé rapport de similitude) :

Interpréter le rapport d'homothétie (k)

• Si k vaut un (k = 1), la figure image sera identique à la figure initiale (isométrique).
• Si k est plus grand que un (k > 1), la figure image sera plus grande que la figure initiale. L'homothétie sera donc un agrandissement.
• Si k est plus petit que 1 mais plus grand que zéro (0 < k < 1), la figure image sera plus petite que la figure initiale. L'homothétie sera donc une réduction.

Voici comment déterminer un rapport d'homothétie :

Déterminer un rapport d'homothétie

Considérons l'homothétie suivante :

1. Déterminer quels sont les segments homologues?

   Évidemment, tous les sommets de la figure initiale ont leurs sommets homologues identifiés par un apostrophe (par exemple C et C'). On peut donc identifier un total de 8 paires de segments homologues :

   • OA et OA'
   • OB et OB'
   • OC et OC'
   • OD et OD'
   • AB et A'B'
   • BC et B'C'
   • CD et C'D'
   • DA et D'A'

   Par contre, on connaît seulement les mesures de deux paires de segments homologues soit : OC (34,37 m) et OC' (72,17 m) ainsi que AD (14,24 m) et A'D' (29,91 m).

2. On place les valeurs connues dans les formules appropriées

   $k = \dfrac{\text{Distance entre } O \text{ et le point } C'}{\text{Distance entre } O \text{ et le point } C} = \dfrac{m\,\overline{OC'}}{m\,\overline{OC}}$

   $k = \dfrac{72{,}17\text{ m}}{34{,}37\text{ m}}$

   $k = 2{,}1$

   ou

   $k = \dfrac{\text{mesure du segment } A'D'}{\text{mesure du segment } AD} = \dfrac{m\,\overline{A'D'}}{m\,\overline{AD}}$

   $k = \dfrac{29{,}91\text{ m}}{14{,}24\text{ m}}$

   $k = 2{,}1$

On remarque donc que, peu importe la méthode, on obtient la même valeur de k. On peut donc conclure que la figure image est 2,1 fois plus grande que la figure initiale.

7.1.4 Utiliser un rapport d'homothétie

Il peut aussi nous être donné de déterminer nous-mêmes la position et la taille de la figure image dans une homothétie. On devra donc se munir de notre règle et de notre calculatrice.

Dans ces situations, on disposera toujours de trois informations :

• Les distances de la figure initiale par rapport au point O
• La position du centre d'homothétie (point O)
• Le rapport de similitude (k)

Nous utiliserons la figure suivante dans l'exemple :

Pour tracer la figure image, il suffit de suivre les étapes suivantes :

Tracer la figure image d'une homothétie

1. À l'aide du rapport d'homothétie, déterminer la longueur des segments entre le point O et les sommets de la figure image. Pour y arriver, on multiplie la longueur de chaque segment par le rapport d'homothétie.

   $m\overline{AO} \cdot k = m\overline{A'O}$     $123\text{ cm} \times 0{,}75 = 92{,}25\text{ cm}$

   $m\overline{BO} \cdot k = m\overline{B'O}$     $117\text{ cm} \times 0{,}75 = 87{,}75\text{ cm}$

   $m\overline{CO} \cdot k = m\overline{C'O}$     $126\text{ cm} \times 0{,}75 = 94{,}5\text{ cm}$

   $m\overline{DO} \cdot k = m\overline{D'O}$     $102\text{ cm} \times 0{,}75 = 76{,}5\text{ cm}$

2. Tracer les segments déterminés à partir du centre d'homothétie et relier les nouveaux points

   

Essaie l'exercice suivant puis corrige-toi à l'aide de la vidéo.

Exercice

Quel est le rapport d'homothétie dans la situation suivante?