2.5 Les pourcentages

Les pourcentages sont eux aussi une manifestation des taux et des rapports. Ils sont probablement la forme la plus courante de proportion dans notre quotidien. Par définition, un pourcentage est simplement un rapport (puisqu'il ne comporte pas d'unités de mesure) dont le dénominateur est 100. Ce rapport peut représenter une multitude de choses. Dans un contexte de commerce, il peut représenter les taxes, des rabais ou un pourboire. Dans un contexte politique, il peut représenter des intentions de votes ou des taux de participation à des élections. Dans un contexte statistique, il permet de donner une idée simplifiée d'une caractéristique de la population. Les manifestations et les utilisations des statistiques sont multiples et c'est pourquoi il est primordial de bien savoir les utiliser. Pour y arriver, je vous présente trois grandes méthodes, il sera ensuite à vous de choisir votre méthode favorite.

2.5.1 L'utilisation des rapports

Avec cette méthode, la technique du produit-croisé ou toute autre méthode vue au chapitre 2.3 (retour à l'unité, coefficient de proportionnalité ou facteur de changement) fonctionnent très bien. À mon avis il s'agit de la méthode la plus intuitive mais aussi la plus laborieuse.

Comme exemples, nous utiliserons les deux situations suivantes pour voir les trois méthodes :

A : 35% des élèves de la polyvalente (qui compte 1563 élèves) désirent participer au défi Pierre-Lavoie.

B : Quel montant doit-on débourser pour un article valant 72$ sur lequel des taxes de 15% s'appliquent?

L'utilisation des rapports pour résoudre des pourcentages va comme suit :

Résoudre un pourcentage à l'aide des rapports

Situation A : 35% des 1563 élèves de la polyvalente

1. Comme toujours, l'aspect difficile de ces situations est de bien placer nos informations dans les rapports. Le 35% deviendra 35/100 et le 1563 élèves (qui représente 100% des élèves) devra être côte à côte avec le nombre 100 dans le rapport voisin. Finalement, puisqu'on ne sait pas combien est 35% de 1563, l'inconnu est voisin du nombre 35.

$$\dfrac{35}{100} = \dfrac{?}{1563}$$

2. Il suffit maintenant d'appliquer l'une des méthodes de résolution de proportion (l'une des quatre que vous connaissez). Puisque le produit croisé est ma méthode de prédilection, j'irai avec celle-ci.

Puisque 547,05 élèves est impossible, la réponse ici est 547 élèves.

Situation B : Des taxes de 15% sur un montant de 72$

1. Pour ajouter un pourcentage à un nombre, il faut d'abord calculer le pourcentage à ajouter. Encore une fois, placer les informations correctement est hyper important. Puisque 72$ est le prix total de l'article, il doit être côte à côte avec le nombre 100.

$$\dfrac{15}{100} = \dfrac{?}{72}$$

2. Nous utilisons encore une fois le produit croisé pour résoudre.

3. Puisque 15% de 72$ est 10,80$, nous devrons payer 10,80$ de plus que 72$

72$ + 10,80$ = 82,80$

Nous devrons donc payer 82,80$ après les taxes

2.5.2 L'utilisation des valeurs décimales

L'utilisation des valeurs décimales pour résoudre des problèmes de pourcentages est selon moi la méthode la plus simple mais elle demande un peu plus de pratique. Cette méthode est basée sur l'utilisation de la valeur décimale de la fraction associée au pourcentage.

Pour convertir un pourcentage en valeur décimale, il suffit de diviser le numérateur (valeur du pourcentage) par le dénominateur (100).

Ex : 43% (43/100) deviendra 0,43

$$43 \div 100 = 0{,}43$$

Une fois le pourcentage transformé en notation décimale, il peut être utilisé dans toutes sortes de situations.

Résoudre un pourcentage à l'aide des valeurs décimales

Situation A : 35% des 1563 élèves de la polyvalente

1. Transformer le pourcentage en notation décimale

35% = 35/100 = 35 ÷ 100 = 0,35

2. Multiplier le nombre total de la situation par la valeur décimale du pourcentage

$$1563 \times 0{,}35 = 547{,}05$$

C'EST TOUT!

Situation B : Des taxes de 15% sur un montant de 72$

1. Transformer le pourcentage en notation décimale

15% = 15/100 = 15 ÷ 100 = 0,15

2. Multiplier le nombre total de la situation par la valeur décimale du pourcentage

$$72 \times 0{,}15 = 10{,}80$$

3. Additionner le montant des taxes au montant total

72$ + 10,80$ = 82,80$

2.5.3 L'utilisation des valeurs décimales couplées au total

Finalement, on peut aussi utiliser les valeurs décimales pour arriver directement au bon résultat et ainsi sauver une étape du processus. Cette technique s'utilise dans les contextes où un pourcentage est additionné ou soustrait à un nombre (comme une taxe ou un rabais).

Il est important de comprendre qu'un nombre dans son entier (donc 100% du nombre) est associé à la valeur décimale 1.

100% = 100/100 = 100 ÷ 100 = 1

Lorsqu'on comprend qu'un nombre complet est associé à la valeur décimale 1, on peut ajouter ou soustraire un pourcentage en valeur décimale au nombre 1, dépendant de la situation.

Lorsqu'on ajoute une taxe de 15% au total, on fait :

100% du prix + 15% de taxes = 115% = 1,15

On paiera donc 1,15 fois le prix initial

Lorsqu'on a un rabais de 20%, on fait :

100% du prix – 20% de rabais = 80% du prix initial = 0,8

On paiera donc 0,8 fois le prix initial

Pour calculer un pourcentage à l'aide de valeurs décimales couplées au total, on suit cette démarche :

Résoudre un pourcentage à l'aide des valeurs décimales couplées au total

Situation B : Des taxes de 15% sur un montant de 72$

1. Transformer le total et les taxes en notation décimale

Le prix de l'article dans les rayons représente 100% de sa valeur

100% = 1

Les taxes de 15% s'appliquent sur le prix initial de l'article

15% = 0,15

1 + 0,15 = 1,15

2. Calculer le prix payé pour l'article avec les taxes de 15%

72$ x 1,15 = 82,80$

Situation C : Un rabais de 20% s'applique sur un article initialement à 146$

1. Transformer le total et le rabais en notation décimale

Le prix de l'article dans les rayons représente 100% de sa valeur

100% = 1

Le rabais de 20% s'applique sur le prix initial de l'article

20% = 0,20

1 - 0,20 = 0,8

2. Calculer le prix payé pour l'article avec les taxes de 15%

146$ x 0,8 = 116,80$