3.2 Addition et soustraction d'expressions algébriques

Plusieurs mises en situation nous amèneront à vouloir simplifier des expressions algébriques. Comme des nombres «normaux», toutes les opérations mathématiques que nous employons déjà peuvent être appliquées. Essentiellement, le PEMDAS peut être appliqué aux expressions algébriques. Cette année, nous nous en tiendrons à l'addition/soustraction d'expressions algébriques et nous effleurerons la multiplication et la division. L'an prochain, vous verrez l'ensemble des opérations mathématiques sur les expressions algébriques.

3.2.1 Les conditions nécessaires

Les critères pour pouvoir additionner ou soustraire des expressions algébriques sont assez contraignants. En effet, il faut des conditions bien particulières pour pouvoir procéder à ces opérations.

Pour pouvoir additionner ou soustraire des expressions algébriques, les termes concernés doivent être des termes semblables.

Termes algébriques semblables : Deux ou plusieurs termes algébriques affectés des mêmes variables portant les mêmes exposants.

Ex : Dans l'expression ci-dessus, quels sont les termes semblables?

$$3x + 8xy - 9xy + 5xy^2$$

• Ici, seuls $8xy$ et $-9xy$ sont semblables
• $5xy^2$ possède les mêmes variables mais les exposants sont différents
• $3x$ possède seulement l'une des variables présentes dans les autres termes.

3.2.2 La démarche

Pour additionner ou soustraire des expressions algébriques, il suffit de suivre la démarche suivante :

Démarche pour additionner ou soustraire des expressions algébriques

Considérons l'expression suivante :

$$3x^2y + 2x - 4yx^2 + 6xy + 4x + 5$$

1. Vérifier si l'expression algébrique présentée respecte les règles d'écriture.

   Ici, un seul des termes n'est pas correctement écrit : $3x^2y + 2x - 4yx^2 + 6xy + 4x + 5$

   On écrira plutôt $3x^2y + 2x - 4x^2y + 6xy + 4x + 5$

   On peut aussi réorganiser les termes en ordre décroissant de degré : $3x^2y - 4x^2y + 6xy + 2x + 4x + 5$

2. Identifier les termes semblables dans l'expression algébrique. Pour le faire, on peut utiliser un code de couleurs ou tout autre système efficace.

   $3x^2y - 4x^2y + 6xy + 2x + 4x + 5$

   On peut remarquer que certains termes peuvent être jumelés et que d'autres se retrouvent seuls.

3. On additionne ou soustrait seulement les coefficients des termes semblables.

   $3x^2y - 4x^2y + 6xy + 2x + 4x + 5$

   $3 - 4 = -1 \qquad 2 + 4 = 6$

   $-x^2y + 6xy + 6x + 5$

   Ainsi, notre expression algébrique simplifiée est :

$$-x^2y + 6xy + 6x + 5$$

Exercice

Essaie ces quelques exemples et corrige-toi avec la vidéo ci-dessous.

1. $7x + 4z - 3x + 5z$
2. $5y + 3 + (12y - 20)$
3. $1{,}2x^2y^3 - 3{,}15xy^2z^2 + 12{,}01x^2yz - 1{,}2z^2xy^2$