3.4 Les suites numériques

Savoir manipuler des expressions algébriques est bien beau mais il est maintenant temps d'utiliser vos connaissances dans des contextes plus appliqués. Les suites numériques sont des suites de nombres liés ensemble par une logique, une régularité, un «pattern» comme on dirait. Nous couvrirons d'abord les deux types de suites abordées cette année et nous verrons ensuite comment les utiliser.

3.4.1 Les suites arithmétiques

Les suites arithmétiques sont des suites où les termes s'enchaînent par des additions ou des soustractions d'un nombre constant, soit la raison.

On peut aussi représenter une suite arithmétique à l'aide d'un graphique.

Comme on peut le remarquer, les suites arithmétiques donnent toujours des séries de nombres en droites (les termes forment une chaîne de valeurs parfaitement alignées).

On peut aussi déterminer la règle d'une suite arithmétique à l'aide du modèle suivant :

$$\text{Terme}(y) = \text{raison}(r) \cdot \text{rang du terme}(x) + (1^{\text{er}}\ \text{terme} - \text{raison})$$ $$y = r \cdot x + (T_1 - r)$$

On peut aussi considérer le $(1^{\text{er}}\ \text{terme} - \text{raison})$ comme une constante une fois simplifiée. Cette constante fait référence au rang 0 de la suite (à partir du rang 1, on soustrait la raison et nous obtenons le rang 0) ceci nous amène au modèle suivant :

$$y = r \cdot x + c$$

Comment trouver la règle d'une suite arithmétique :

Comment trouver la règle d'une suite arithmétique

Considérons la suite de nombres suivants :

Rang	1	2	3	4	5	6
Terme	7	13	19	25	31	37

1. Déterminer la raison de la suite. On soustrait un terme par le terme qui le précède dans la suite.

   $13 - 7 = 6 \qquad 19 - 13 = 6 \qquad 25 - 19 = 6 \qquad 31 - 25 = 6 \qquad \ldots$

   On remarque que la raison est $+6$.

2. Identifier le 1$^{er}$ terme de la suite. Ici, on nous donne le 1$^{er}$ terme (au rang 1) qui est 7. Donc $T_1$ est 7.

3. Entrer la raison et la valeur du 1$^{er}$ terme dans la formule.

   $\text{Terme}(y) = \text{raison}(r) \cdot \text{rang du terme}(x) + (1^{\text{er}}\ \text{terme} - \text{raison})$

   $y = r \cdot x + (T_1 - r)$

   $y = 6 \cdot x + (7 - 6)$

4. Simplifier l'expression algébrique.

   $y = 6 \cdot x + (7 - 6)$ devient $y = 6x + 1$

3.4.2 Les suites géométriques

Contrairement aux suites arithmétiques, les termes des suites géométriques ne sont pas liés ensemble par des additions ou des soustractions mais plutôt par des multiplications.

On peut encore une fois représenter des suites géométriques à l'aide de graphiques.

Ici, on remarque que les termes d'une suite géométrique ne forment pas une droite mais plutôt une courbe. On peut même dire que ces suites sont exponentielles, c'est-à-dire que l'écart entre les termes augmente de plus en plus ou diminue de plus en plus.

On peut aussi déterminer la règle d'une suite géométrique à l'aide du modèle suivant :

$$\text{Terme}(y) = 1^{\text{er}}\ \text{terme} \cdot \text{raison}^{\text{rang} - 1}$$ $$y = T_1 \cdot r^{\text{rang}-1}$$

Comment trouver la règle d'une suite géométrique :

Comment trouver la règle d'une suite géométrique

Considérons la suite suivante :

Rang	1	2	3	4	5
Terme	4	8	16	32	64

1. Déterminer la raison de la suite. Pour déterminer la raison, on divise un terme par celui qui le précède.

   $8 \div 4 = 2 \qquad 16 \div 8 = 2 \qquad 32 \div 16 = 2 \qquad 64 \div 32 = 2 \qquad \ldots$

   On remarque que la raison est $\times 2$.

2. Identifier le 1$^{er}$ terme de la suite. Encore une fois, le 1$^{er}$ terme nous est donné (au rang 1), c'est 4.

   Si on souhaite obtenir le 1$^{er}$ terme, il suffit d'effectuer l'opération contraire de la raison, ce qui serait $\div 2$ dans ce cas. On effectue l'opération contraire jusqu'à arriver au rang 1.

3. Placer les valeurs trouvées dans la règle de la suite.

   $\text{Terme}(y) = 1^{\text{er}}\ \text{terme} \cdot \text{raison}^{\text{rang} - 1}$

   $y = T_1 \cdot r^{\text{rang}-1}$

   $y = 4 \cdot 2^{\text{rang}-1}$

   Ici, il ne faut pas réduire la règle.

3.4.3 Utiliser les règles

Dans le cas de la suite arithmétique et de la suite géométrique, on peut utiliser les règles des suites pour trouver des termes manquants ou encore des termes distants. Dans tous les cas, il suffit de remplacer une variable par la valeur souhaitée et de simplifier l'expression.

Comment trouver le terme d'un rang donné — Suite arithmétique

Considérons la règle suivante :

$$y = 3x + (4 - 3)$$

ou sa version simplifiée

$$y = 3x + 1$$

Quelle serait la valeur du 23$^{e}$ terme de cette suite?

1. Remplacer la bonne variable par le nombre 23. Dans la formule $y = 3x + 1$, c'est le $x$ qui représente le rang. On remplacera donc $x$ par 23. La formule devient donc :

   $$y = 3 \cdot 23 + 1$$

2. Il suffit maintenant de simplifier l'expression pour obtenir la valeur de $y$.

   $y = 3 \cdot 23 + 1$

   $y = 69 + 1$

   $y = 70$

   On obtient donc que le 23$^{e}$ terme de cette suite est 70.

Comment trouver le terme d'un rang donné — Suite géométrique

Considérons la règle suivante :

$$y = 3 \cdot 1{,}5^{\text{rang}-1}$$

Quelle serait la valeur du 14$^{e}$ terme de cette suite?

1. Remplacer la bonne variable par le nombre 14. Dans la formule $y = 3 \cdot 1{,}5^{\text{rang}-1}$, le rang est bien indiqué; une fois le rang 14 intégré à la formule, on obtient ceci :

   $$y = 3 \cdot 1{,}5^{14 - 1}$$

2. Il suffit maintenant de simplifier l'expression pour obtenir la valeur de $y$.

   $y = 3 \cdot 1{,}5^{14 - 1}$

   $y = 3 \cdot 1{,}5^{13}$

   $y = 3 \cdot 194{,}62$

   $y = 583{,}86$

   La valeur du 14$^{e}$ terme est donc 583,86.