2.2 Situations de variations directes et inverses

Comme nous l'avons vu dans la section 2.1, il existe une multitude de situations de proportionnalité. Dans cette section, nous amènerons notre vision de ces situations encore plus loin.

2.2.1 Situation de variation directe

Prenons d'abord un exemple simple qui nous guidera pour cette première partie.

Constance a commencé à travailler au magasin du coin. Elle gagne 11$ par heure.

Ici, nous avons une situation de proportionnalité exprimée en taux unitaire (elle gagne 11$/1h). Il s'agit d'une situation de proportionnalité puisque si elle travaille 1h, elle gagnera 11$ et si elle travaille 2h, elle gagnera 22$. Sa paie est toujours proportionnelle au nombre d'heure qu'elle travaille. Cet exemple nous mène à notre premier concept théorique, la situation de variation directe.

Situation de variation directe : Situation dans laquelle tous les taux ou rapports sont équivalents. Lorsqu'une valeur augmente, l'autre augmente aussi et vice-versa.

Dans la situation de Constance, on pourrait remplir une table de valeur pour visualiser l'ensemble des possibilités.

Heures travaillées (h)	1	2	3	4	5	x	...
Salaire ($)	11	22	33	44	55	y	...

Comme vous l'aurez compris, cette table de valeur ne représente qu'une petite portion des possibilités. D'abord Constance pourrait travailler plusieurs centaines d'heures en une année. Ensuite, elle pourrait travailler des heures incomplètes (ex : 2.5h, 3.75h, etc.). Ici, les possibilités sont infinies.

Pour nous aider à visualiser cette infinité de possibilités, il est souvent avantageux de tracer un graphique de la situation. Nous utiliserons les valeurs de la table de valeurs et les axes x et y associés au temps et au salaire.

Comme le montre le graphique, les valeurs de la table de valeur se retrouvent dans le graphique mais la ligne continue indique une infinité d'autres combinaisons d'heures travaillées et de salaire.

En plus des tables de valeurs et des graphiques, nous pouvons utiliser des règles mathématiques pour représenter une situation de variation directe. Pour toutes ces situations, nous utiliserons la règle :

$$y = a \cdot x$$

où a représente le taux unitaire de la situation

Dans la situation de Constance, la règle de son salaire est donc y = 11x. Pour calculer le salaire pour n'importe quel nombre d'heures travaillé, il suffit de multiplier a (dans ce cas-ci 11) par x qui représente son nombre d'heures.

Exercice

Remplis la table de valeur et le graphique suivant en lien avec cette situation :

Simon se donne le défi d'attraper 7 insectes par jour pour sa collection.

Jours	1	2	3	5	8	x
Insectes attrapés						y

Vidéo 2.2 – Exercice variation directe

2.2.2 Situation de variation inverse

Comme avec l'exemple de Constance pour la variation directe, nous utiliserons un exemple pour la variation inverse :

David doit peinturer l'intérieur de sa maison. Il évalue que cette tâche lui prendrait 36 heures s'il l'accomplissait seul. Il se demande s'il devrait demander de l'aide à ses nombreux amis.

Contrairement à la situation de variation directe, le temps nécessaire pour peindre la maison n'augmentera pas si David invite plus d'amis. Au contraire, plus il invitera d'amis, moins cela sera long. Le temps nécessaire progresse donc à l'inverse du nombre de travailleurs, il s'agit donc d'une situation de variation inverse.

Situation de variation inverse : Situation dans laquelle on obtient un produit constant lorsqu'on multiplie les termes des rapports ou des taux.

La table de valeur de la situation de David nous aidera à mieux visualiser tout cela :

Temps nécessaire pour peinturer (h)	36	18	12	9	7,2	...	y
Nombre de peintres	1	2	3	4	5	...	x

Comme on peut le voir, plus il y a de peintre, moins la tâche prend de temps à accomplir. Il faut toutefois comprendre que le nombre d'heures à travailler est constant. Deux personnes qui travaillent 18 heures reviennent au même qu'une personne qui travaille 36 heures.

Puisque la situation de variation inverse implique une valeur constante (ici le nombre d'heures à travailler), la règle des situations de variation inverse inclura une constante :

$$y = \dfrac{c}{x}$$

où c est la constante de la situation

Encore une fois, il est possible de tracer un graphique à partir de la table de valeur :

Contrairement à la variation directe, le graphique de la variation inverse donne toujours une courbe descendante.

Exercice

Pour la mise en situation suivante, remplis la table de valeur et le graphique :

Des élèves souhaitent offrir un cadeau de groupe à leur enseignante. Ils savent que son parfum préféré est le LSL n$^{o}$4, mais il coûte 256$.

Coût par élève
Nombre d'élèves	1	2	3	5	8	12