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2.4 Résolution de situations de variation inverse

Comme présenté dans la section 2.2, les situations de variation inverse sont des situations où un tout constant est divisé en plusieurs parties. Précédemment, nous avons utilisés les deux exemples suivants :

David doit peinturer l'intérieur de sa maison. Il évalue que cette tâche lui prendrait 36 heures s'il l'accomplissait seul. Il se demande s'il devrait demander de l'aide à ses nombreux amis.

Des élèves souhaitent offrir un cadeau de groupe à leur enseignante. Ils savent que son parfum préféré est le LSL no^{o}4, mais il coûte 256$.

Dans ces deux exemples, nous avons une donnée constante (les heures de peintures à faire et le prix du parfum) et un facteur variable (le nombre de peintres et le nombre d'élèves). La règle de ces fonctions est donc :

y=cxy = \dfrac{c}{x}

où c est la constante (les heures de peinture ou le prix du parfum)

2.4.1 Identification des situations de variation inverse​

Pour résoudre des situations de variation inverse, il faut d'abord savoir identifier que deux rapports forment effectivement une situation de variation inverse. Pour y arriver, il suffit de valider que les deux taux ou rapports donnent la même constante. Utilisons un exemple :

Un groupe de 10 personnes paient 65$ chacun pour la location d'une salle. Un autre groupe de 26 personnes paient 25$ chacun pour la location de la même salle. Ces deux groupes ont-ils des prix équivalents?

Pour vérifier si les deux taux forment une situation de variation inverse on procède ainsi :

Vérifier si deux taux forment une situation de variation inverse

1. Transcrire l'énoncé en taux

6510 pers.=2526 pers.\dfrac{65}{10\,\text{pers.}} = \dfrac{25}{26\,\text{pers.}}

2. On doit ensuite identifier la constante de chaque taux.

Si 10 personnes ont payé 65$, le premier groupe a donc payé

10 x 65$ = 650$

Si 26 personnes ont payé 25$, le deuxième groupe a donc payé

26 x 25$ = 650$

3. Comparer les constantes

Puisque les deux taux ont la même constante (la salle a coûtée 650$) on peut conclure que les deux taux font partis de la même situation de variation inverse.

Lorsque nous avons confirmé qu'une situation était bien une situation de variation inverse, il est possible de résoudre d'autres taux à l'intérieur de cette situation. Pour résoudre une situation de variation inverse, il existe une méthode bien simple : l'identification de la constante.

2.4.2 Résolution par l'identification de la constante​

Pour résoudre une situation de variation inverse, il faut faire attention à NE PAS UTILISER LES MÉTHODES VUES PRÉCÉDEMMENT (produit croisé, retour à l'unité, coefficient de proportionnalité, facteur de changement). On peut toutefois exploiter la particularité de ces situations, soit l'existence d'une constante, pour résoudre. Utilisons l'exemple suivant :

Un enseignant essaie de passer du temps avec chacun de ses élèves. Lorsqu'il a 8 élèves dans son cours, il peut leur accorder 15 minutes chacun. S'il a 22 élèves, combien de temps peut-il accorder à chaque élève?

Pour résoudre cette situation par identification de la constante, on procède ainsi :

Résolution par l'identification de la constante

1. Placer correctement les informations de manière à obtenir un taux (ou un rapport) complet.

15 minutes8 eˊleˋves\dfrac{15\,\text{minutes}}{8\,\text{élèves}}

Ici, le taux complet est : 15 minutes par élève lorsqu'il a 8 élèves

2. Identifier la constante en multipliant les deux composantes du taux.

Puisque 15 x 8 = 120

on peut déduire que l'enseignant a un total de 120 minutes à accorder à ses élèves. La constante est donc 120

3. Utiliser la constante pour compléter le deuxième taux.

Le taux incomplet de la mise en situation est

? minutes22 eˊleˋves\dfrac{?\,\text{minutes}}{22\,\text{élèves}}

Puisque l'enseignant a 120 minutes à offrir, les 22 élèves se partageront ce total

120 ÷ 22 = 5,45 minutes