Aller au contenu principal

2.3 Résolution de situations de variation directe

Pour résoudre des situations de variation directe, et donc des situations de proportionnalité, il existe plusieurs moyens très efficaces. Alors que nous avions couvert le «produit-croisé» dans la section 2.1, nous verrons trois autres moyens dans cette section-ci. Certains de ces moyens s'appliquent mieux dans certaines situations alors que différents moyens s'appliquent mieux dans d'autres situations. C'est pour cela qu'il est utile de savoir résoudre des situations de variation directe de plusieurs manières différentes. L'objectif ici est de diversifier son «coffre à outils mathématique».

2.3.1 Le retour à l'unité​

Cette stratégie implique de trouver le taux unitaire d'un taux ou d'un rapport connu et d'utiliser ce taux unitaire comme tremplin vers la résolution d'une situation. Nous utiliserons un exemple pour simplifier les explications :

Le safran est l'épice la plus dispendieuse au monde. Deux grammes de cette épice coûtent 12,25$. Combien coûteraient 11 grammes de cette épice?

Avec la stratégie du retour à l'unité, l'objectif serait d'abord de trouver le prix unitaire du safran (combien coûte 1g). Alors, on pourrait plus facilement trouver le prix de 11g.

On suit les étapes suivantes pour la résolution par le retour à l'unité

Étapes pour la résolution par le retour à l'unité

1. Trouver le taux unitaire du safran.

12,25$/2g = ?$/1g, avec des flèches indiquant une division par 2 sur le numérateur et le dénominateur

Puisqu'il faut diviser 2g par deux pour l'amener à 1g, on fait de même avec 12,25$. Donc :

12,25$ ÷ 2 = 6,125$

2. Une fois le taux unitaire connu, on utilise ce nouveau taux pour trouver la valeur de 11g de safran.

6,125$/1g = ?$/11g, avec des flèches indiquant une multiplication par 11 sur le numérateur et le dénominateur

Puisqu'il faut multiplier 1g par 11 pour arriver à 11g, on fait de même avec 6,125$. Donc :

6,125$ x 11 = 67,375$

Étape supplémentaire : Puisque dans cet exemple, l'argent est utilisé, il faut arrondir la réponse aux centièmes près.

67,375$ devient donc 67,38$

Notre réponse finale est donc que 11g de safran coûtent 67,38$

2.3.2 Coefficient de proportionnalité​

En analysant la relation entre le numérateur et le dénominateur d'un rapport ou d'un taux, il est aussi possible de résoudre des situations de proportionnalité. Ce lien est appelé coefficient de proportionnalité.

Dans la situation où 8 pommes coûtent 2$, le coefficient de proportionnalité est de 4 (puisque 2 x 4 = 8)

8 pommes sur 2$, avec une flèche indiquant une multiplication par 4

Pour utiliser le coefficient de proportionnalité pour résoudre une situation, on procède ainsi :

Étapes pour résoudre à l'aide du coefficient de proportionnalité

1. Dans la mise en situation, utiliser le taux déjà complété pour déterminer le coefficient de proportionnalité.

12,25$/2g = ?$/11g, avec une flèche indiquant un coefficient de x6,125

Vous remarquerez que le coefficient de proportionnalité a la même valeur que le taux unitaire de la section 2.3.1

2. On utilise ensuite le coefficient de proportionnalité pour trouver la valeur manquante.

12,25$/2g = ?$/11g, avec une flèche indiquant que le coefficient de x6,125 s'applique au dénominateur

On calcule donc la valeur inconnue

11g x 6,125 = 67,375$

2.3.3 Facteur de changement (lien entre les deux positions homologues des deux taux)​

La dernière technique utilisée pour résoudre des situations de proportionnalités est le facteur de changement. On utilise le terme facteur de changement pour indiquer le changement de valeur qu'il y a entre deux taux.

5 hot-dogs/13$ = 25 hot-dogs/?$, avec une flèche indiquant un facteur de changement de x5

Dans cette situation, le 2e^{e} taux est 5 fois plus grand que le 1er^{er}.

Le facteur de changement est donc de 5.

Pour utiliser le facteur de changement pour résoudre une situation de proportionnalité, on procède ainsi :

Étapes pour résoudre à l'aide du facteur de changement

1. Déterminer le facteur de changement en identifiant le lien entre des positions homologues des rapports équivalents.

12,25$/2g = ?$/11g, avec des flèches indiquant un facteur de changement de x5,5 entre les deux dénominateurs

Ici, 11g est 5,5 fois plus grand que 2g. Le facteur de changement est donc de 5,5

2. On utilise ensuite le facteur de changement pour déterminer la donnée manquante du taux.

12,25$/2g = ?$/11g, avec des flèches indiquant que le facteur x5,5 s'applique aussi aux numérateurs

On effectue l'opération 12,25$ x 5,5 pour déterminer la valeur de l'inconnu

12,25 x 5,5 = 67,375$

Exercice

Détermine, à l'aide du coefficient de proportionnalité et du facteur de changement de la section 2.3, la valeur manquante de cette situation de variation directe.

Une équipe de football a toujours 8 entraîneurs pour 68 joueurs. S'il y a 2176 joueurs dans la NFL, combien y a-t-il d'entraîneurs?

Montre tes démarches pour chaque méthode.