1.3 Les opérations sur les fractions

Une fraction est essentiellement deux termes séparés par une division (le trait horizontal qui les sépare). Le terme supérieur est appelé numérateur alors que le terme du bas est appelé dénominateur.

Cette année, il ne sera question de quatre opérations avec les fractions, soit l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. L'exponentiation et la racine ne seront vues que l'an prochain.

1.3.1 Addition et soustraction de fractions

Même s'il s'agit des opérations les plus simples en mathématiques, lorsqu'il vient le temps d'effectuer une addition ou une soustraction avec des fractions, cela peut s'avérer plus complexe.

Pour additionner deux fractions, on doit pouvoir faire la somme des numérateurs alors que les fractions sont sur le même dénominateur. Pour y arriver, il faut parfois transformer les fractions pour mettre les deux fractions sur le même dénominateur. Pour réaliser cette étape, il existe deux grandes méthodes.

Méthode 1 — Le PPCM

Avec la méthode du PPCM (plus petit commun multiple), l'objectif est de dresser la liste des multiples des deux dénominateurs et identifier le premier qu'ils ont en commun. Ce multiple commun deviendra le dénominateur des deux fractions pour l'addition.

Il faut maintenant dresser la liste de nos deux dénominateurs :

• 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, etc.
• 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc.

On remarque donc que 20 est un multiple commun, nous devrons donc placer nos deux fractions sur 20.

Méthode 2 — La multiplication des dénominateurs

Cette méthode, plus simple mais aux résultats parfois moins efficaces, se réalise en multipliant mutuellement les deux dénominateurs.

$8 \times 7 = 56$

Vidéo 1.3 – 1

Soustraction de fractions.

1.3.2 Multiplication de fractions

Vraiment, la multiplication de deux fractions est l'opération sur les fractions la plus simple qui soit. Pour y arriver, il suffit de multiplier les deux numérateurs ensemble et les deux dénominateurs ensemble. C'est tout!

Cette opération deviendra particulièrement pertinente lors du chapitre sur les probabilités.

1.3.3 Division de fractions

Pour résoudre une division de deux fractions, la technique la plus simple est de transformer cette division de fractions en une multiplication de fractions. Pour y arriver, il faut inverser la deuxième fraction, cela transformera notre division en multiplication.

Pour comprendre pourquoi, il faut se souvenir que la division est l'opération contraire de la multiplication. Si nous inversons la deuxième fraction, nous présentons la fraction inverse à la division, pour compenser cette inversion, il faut inverser à son tour l'opération mathématique, la division devient donc une multiplication.

Vidéo 1.3 – 2

Division de fractions.

Vidéo 1.3 – 2.1

Exponentiation de fractions.

1.3.4 Nombres fractionnaires

Lorsque la valeur d'une fraction devient assez grande, son numérateur dépasse la valeur de son dénominateur (Ex : $\dfrac{9}{8}$). Il devient alors plus simple d'exprimer cette fraction sous la forme d'un nombre fractionnaire. Dans un nombre fractionnaire, le chiffre devant la fraction représente les entiers, c'est-à-dire le nombre de fractions « pleines » dans le nombre et la fraction exprime le reste « incomplet » du nombre.

Convertir un nombre fractionnaire en fraction régulière

Pour effectuer des opérations sur des nombres fractionnaires, il est habituellement plus simple de le transformer en une fraction régulière. Pour y arriver, il faut multiplier le dénominateur par l'entier et ajouter cette valeur au numérateur.

Convertir une fraction en nombre fractionnaire

Pour convertir une fraction en nombre fractionnaire, il faut observer le lien entre le numérateur et le dénominateur. L'objectif est de trouver le multiple du dénominateur qui s'approche le plus du numérateur sans dépasser sa valeur.

Dans la fraction $\dfrac{31}{9}$, nous devons déterminer quels sont les multiples de 9.

• 9 : 9, 18, 27, 36, etc.

Puisque 27 est le multiple qui s'approche le plus de 31 sans le dépasser, nous choisirons ce nombre pour le soustraire au numérateur.

$31 - 27 = 4$

Ceci veut dire que notre nouveau numérateur sera 4 : $?\,\dfrac{4}{9}$

Finalement, puisque 27 est le triple de 9 ($9 \times 3 = 27$), nous savons que notre nombre fractionnaire aura 3 entiers : $3\,\dfrac{4}{9}$

Vidéos 1.3 – 3 et 1.3 – 4

Conversion de fraction / nombres fractionnaires.