1.2 Les six opérations de base

Dans les premières années de votre secondaire, vous n'aurez qu'à travailler avec six opérations mathématiques différentes. J'ai l'habitude de présenter ces opérations dans le tableau suivant :

Opération	Opération contraire
Addition	Soustraction
Multiplication	Division
Exposant	Racine

Dans ce tableau, les opérations contraires sont côte à côte et la complexité des opérations augmente vers le bas. Nous aurons l'occasion de revoir ce tableau simple à plusieurs reprises dans les prochaines années.

1.2.1 Addition et Soustraction

Le résultat de l'addition de deux ou plusieurs termes est appelé la somme.

L'addition est une opération mathématique dite commutative, c'est à dire que son résultat ne dépend pas de l'ordre des termes.

$12 + 13 + 5 = 30$

De son côté, la soustraction de deux ou plusieurs termes est appelée la différence.

Contrairement à l'addition, la soustraction n'est pas commutative, l'ordre des termes influence le résultat*.

$32 - 14 - 6 = 12$

*Nous verrons comment la dernière affirmation peut être contournée

Règles pour l'addition et la soustraction de nombres négatifs

Les règles suivantes sont importantes lorsque vient le temps d'effectuer ces deux opérations avec des nombres négatifs.

• $25 + 12 = 37$
• $-25 + -12 = -37$
• $25 + -25 = 0$
• $25 + {+12} = 37$
• $25 - {-12} = 37$
• $25 + -12 = 13$

1.2.2 Multiplication et Division

Le résultat de la multiplication de deux ou plusieurs facteurs est appelé le produit.

Comme l'addition, la multiplication est une opération mathématique commutative, l'ordre dans lequel les facteurs sont placés n'influence pas le produit.

$7 \times 12 = 84$

Le zéro et le un dans la multiplication

Pour la multiplication, le zéro et le un ont des rôles particuliers.

• Le zéro est une valeur absorbante, c'est-à-dire que peu importe avec quel facteur il est multiplié, le produit sera toujours nul (zéro). $14 \times 0 = 0$
• Le un est une valeur neutre, c'est-à-dire qu'il n'a aucun impact sur le produit des facteurs. $14 \times 1 = 14$

Le résultat de la division du dividende par le diviseur est appelé le quotient.

Contrairement à la multiplication, la division n'est pas une opération commutative.

$20 \div 5 = 4$

Le zéro et le un dans la division

Pour la division, le zéro et le un ont encore des rôles particuliers.

• $14 \div 0 = \text{Erreur}$
• $14 \div 1 = 14$

Règles pour la multiplication et la division de nombres négatifs

Les règles suivantes sont importantes pour les multiplications et divisions avec des nombres négatifs :

1. La multiplication ou la division de deux nombres de même signes donne un nombre positif.

   $3 \times 4 = 12$     $12 \div 4 = 3$     $-3 \times -4 = 12$     $-12 \div -4 = 3$

2. La multiplication ou la division de deux nombres de signes différents donne un nombre négatif.

   $3 \times -4 = -12$     $-12 \div 4 = -3$

1.2.3 Exposants et Racines

L'exponentiation est une opération mathématique qui permet de calculer la puissance d'un nombre écrit sous la forme $a^b$, où $a$ est la base et $b$ est l'exposant. L'exponentiation permet de calculer la valeur d'un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois.

Le zéro et le un dans l'exponentiation

Pour l'exponentiation, le zéro et le un ont des rôles particuliers :

• Une base affectée d'un exposant 1 reste inchangée. $14^1 = 14$
• Une base, peu importe sa valeur, affectée d'un exposant 0 donnera toujours 1. $14^0 = 1$

Lors de l'écriture d'expressions mathématiques avec des exposants, il est important (tant à la main qu'à la calculatrice) de placer des bases négatives entre parenthèses. On évite ainsi toute possible confusion.

Ex : $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$      $-2^4 = -(2^4) = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$

Finalement, il faut faire attention aux exposants négatifs pour simplifier des expressions exponentielles. En effet, une base portant un exposant négatif peut être exprimée par la fraction inverse de la base. Ceci permet de transformer l'exposant négatif en exposant positif.

Les racines sont parfois plus difficiles à expliquer. On doit d'abord spécifier que la racine est l'opération mathématique contraire de l'exponentiation. Ainsi, une racine carrée (Ex : $\sqrt{x}$) effectue l'opération inverse de l'exposant 2 ($x^2$).

$\sqrt{9} = 3 \qquad 3^2 = 9$

L'utilisation d'une racine, souvent appelée radical, est parfois plus facile à comprendre comme une question. Lorsqu'on écrit l'expression suivante $\sqrt{49} = \,?$, cela revient à poser la question « quel nombre, affecté de l'exposant 2 donnera 49? » À cette question, la réponse est 7. La racine carrée de 49 est donc 7 ($\sqrt{49} = 7$).

Vidéo 1.2 – 1

Résumé des exposants et racines.