6.4 L'aire des solides décomposables et la recherche de mesures manquantes

À l'image de la section 5.4 (L'aire des figures décomposables), la section 6.4 n'apporte aucun nouveau concept, par contre, les notions qui y sont présentées sont tout aussi importantes. L'objectif de cette section est, encore une fois, de vous présenter des méthodes pour mieux organiser vos démarches. Les problèmes de calculs d'aire de solides décomposables sont parmi les plus longs que vous verrez cette année. Heureusement, un long problème n'est pas un gage de problème difficile, il suffit d'avoir la bonne technique pour ne rien oublier et être en mesure de revenir sur ses pas au besoin.

6.4.1 Les calculs d'aires

Comme dans toutes vos démarches mathématiques, vos calculs devraient être identifiés à l'aide de mots. Cet aspect devient particulièrement important dans ces calculs géométriques puisque vos feuilles porteront plusieurs dizaines de mesures d'aires mais seules certaines d'entre elles vous seront réellement nécessaires. Il faut donc développer des trucs pour mettre en évidence chaque section de votre démarche ainsi que la valeur obtenue. Dans l'objectif de vous donner un exemple que vous pourrez revenir consulter, cette section comportera une photo (voir plus bas) d'une démarche complète de calcul d'aire de solide. Pour votre travail théorique, vous devez copier l'ensemble de la démarche en plus de compléter les sections manquantes (zones vertes). Vous serez ensuite invités à regarder la vidéo habituelle pour obtenir plus d'informations et vérifier vos réponses.

Pour cette section, nous calculerons l'aire totale de cette «fusée»:

En suivant les étapes et la méthode d'organisation de la démarche ci-dessous, complète les sections manquantes en effectuant les calculs appropriés.

N'oublie pas d'écouter la vidéo pour te corriger.

6.4.2 La recherche de mesures manquantes

Pour rester dans le thème de la consolidation des savoirs, je profite de cette section pour revenir avec vous sur l'organisation d'une démarche de recherche de mesure manquante en géométrie.

Lorsqu'une mesure d'un solide est manquante dans un problème, il faut habituellement faire la démarche inverse des calculs d'aires «traditionnels» pour arriver à la réponse souhaitée. Cette démarche requiert d'abord d'utiliser les bonnes formules d'aires (voir chapitres 5 et 6) puis de mettre en oeuvre les différentes techniques d'algèbre (principalement les opérations inverses) pour isoler l'inconnue recherchée.

Recette en quatre étapes pour organiser sa démarche

1. Identifier et écrire la formule géométrique vide à utiliser.
2. Placer toutes les informations connues dans la formule.
3. Simplifier les deux côtés de l'équation.
4. Isoler la variable (on utilise la technique des opérations inverses (PEDMAS à l'envers)).

Essayons ensemble un exemple simple:

Exemple — Recherche de la hauteur d'un prisme

Considérons le prisme suivant:

Quelle est la hauteur du prisme?

1. Identifier et écrire la formule géométrique vide à utiliser.

   Ici, on utilise la formule de l'aire totale d'un prisme.

   $$A_{T} = 2 \times A_{B} + A_{L}$$

   On peut développer la formule davantage:

   $$A_{T} = 2 \times (\text{Largeur} \times \text{Profondeur}) + (P_{B} \times h)$$

   Ici, (Largeur × Profondeur) représente l'aire d'une base puisque pour ce prisme, la base est un rectangle.

   On obtient donc la formule suivante:

   $$A_{T} = 2 \times (L \times P) + (P_{B} \times h)$$

2. Placer toutes les informations connues dans la formule.

   $$A_{T} = 2 \times (L \times P) + (P_{B} \times h)$$ $$1616 = 2 \times (16 \times 12) + (12+16+12+16) \times h$$

   On obtient donc une formule avec une seule inconnue, c'est l'idéal pour la méthode des opérations inverses.

3. Simplifier les deux côtés de l'équation.

   On effectue le plus d'opérations possible sans appliquer l'algèbre pour simplifier l'équation.

   $$1616 = 2 \times (16 \times 12) + (12+16+12+16) \times h$$ $$1616 = 2 \times 192 + 56 \times h$$ $$1616 = 384 + 56h$$

   Avec cette équation, on ne peut plus simplifier davantage.

4. Isoler la variable.

   En se rappelant d'effectuer les opérations inverses en respectant l'ordre du PEDMAS inverse, on essaie d'isoler la variable $h$.

   

   On a donc déterminé que la hauteur du prisme est de 22 cm.

Exercice

Essaie l'exercice suivant puis corrige-toi à l'aide de la vidéo: