7.3 Le périmètre et l'aire des figures semblables

Dans cette section, nous étudierons la manière avec laquelle l'homothétie modifie le périmètre et l'aire de la figure image.

Pour y arriver, nous explorerons d'abord une situation et nous tenterons de tirer des conclusions par la suite.

Considérons l'homothétie ci-dessous :

Lorsqu'on compare les mesures homologues chez les deux figures, on peut calculer que le rapport de similitude est de 2.

$\dfrac{m\overline{A'B'}}{m\overline{AB}} = \dfrac{20\text{ cm}}{10\text{ cm}} = 2$

$\dfrac{m\overline{OA'}}{m\overline{OA}} = \dfrac{39{,}2\text{ cm}}{19{,}6\text{ cm}} = 2$

On assume donc que les deux figures sont associées par un rapport k de 2.

Comparons maintenant le périmètre et l'aire des deux figures :

Périmètre	Aire
$P_{initiale} = b + h + b + h$ $P_{initiale} = 10 + 8 + 10 + 8$ $P_{initiale} = 36\text{ cm}$ $P_{image} = b + h + b + h$ $P_{image} = 20 + 16 + 20 + 16$ $P_{image} = 72\text{ cm}$ Lorsqu'on fait le rapport des deux figures, on obtient $\dfrac{P_{image}}{P_{initiale}} = \dfrac{72\text{ cm}}{36\text{ cm}} = 2$ On obtient donc le même rapport de périmètre que le rapport de similitude.	$A_{initiale} = b \cdot h$ $A_{initiale} = 10 \cdot 8$ $A_{initiale} = 80\text{ cm}^2$ $A_{image} = b \cdot h$ $A_{image} = 20 \cdot 16$ $A_{image} = 320\text{ cm}^2$ Lorsqu'on fait le rapport des deux figures, on obtient $\dfrac{A_{image}}{A_{initiale}} = \dfrac{320\text{ cm}^2}{80\text{ cm}^2} = 4$ On obtient donc que le rapport des aires ($k_2$) est 4, donc différent du rapport de similitude.

Pour l'instant, nous pouvons conclure deux choses :

• Le rapport des périmètres est le même que le rapport de similitude
• Le rapport des aires ($k_2$) est différent du rapport de similitude ($k_1$)

Il reste seulement à déterminer comment faire le lien entre le $k_1$ et le $k_2$ :

Dans notre exemple précédent, nous avions un $k_1$ de 2 et un $k_2$ de 4.

Pour passer de 2 à 4, il existe trois moyens :

• $2 + 2 = 4$
• $2 \cdot 2 = 4$
• $2^2 = 4$

Exercice

Quel est le véritable moyen pour passer du $k_1$ au $k_2$? À toi de le découvrir!

Utilise l'exemple suivant pour y arriver en utilisant le même processus que l'exemple précédent.

Fais ta démarche complète dans ton cahier d'activité et valide ta démarche à l'aide de la vidéo suivante :

Exercices supplémentaires

Les exercices liés à cette section se trouvent à deux endroits :

• Manuel Panoramath Vol. 1, p. 154, # 12, 17, 18 et 19
• Feuille d'exercices à récupérer auprès de ton enseignant