7.2 Les figures semblables

Comme vous l'avez vu dans la section précédente, les homothéties créent une figure image à partir d'une figure initiale. Ces deux figures sont toujours considérées comme semblables lorsque toutes les conditions de l'homothétie sont respectées. Les figures semblables ont plusieurs propriétés intéressantes, il en sera donc question dans cette section.

Figures semblables

Des figures semblables sont des figures (deux ou plus) qui ont la même forme, mais dont les dimensions peuvent être différentes (mais proportionnelles).

7.2.1 Les caractéristiques des figures semblables

Comme il en a été question dans la section 7.1, les figures semblables ont des côtés homologues qui sont de tailles différentes mais qui sont tous proportionnels (c'est-à-dire qu'ils respectent le même rapport de similitude). Rappel : deux figures qui sont identiques sont isométriques.

Deux figures sont semblables lorsque :

• Tous les angles homologues sont isométriques
• Les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles (k est identique pour toutes les paires de côtés homologues)

Examinons les deux figures suivantes afin de vérifier si elles sont semblables :

Exemple — Vérifier si deux figures sont semblables

D'abord, on remarque rapidement que tous les angles homologues sont identiques, le premier critère est donc respecté.

Lorsqu'on divise les côtés homologues ensemble, on obtient les valeurs suivantes :

$k = \dfrac{30\text{ m}}{20\text{ m}} = \dfrac{16{,}88\text{ m}}{11{,}25\text{ m}} = \dfrac{15\text{ m}}{10\text{ m}} = \dfrac{15}{10} = 1{,}5$

La deuxième condition est donc respectée.

Ainsi, on peut affirmer que les deux figures sont semblables.

7.2.2 La recherche de mesure manquante

Puisque deux figures semblables ont des mesures proportionnelles, il est possible de déterminer certaines mesures inconnues dans des situations d'homothétie à l'aide du rapport de similitude.

Pour y arriver, il suffit de suivre les étapes suivantes :

• En comparant les mesures de deux côtés homologues, déterminer le rapport de similitude (k)
• À l'aide du k, calculer la mesure inconnue à partir de son côté homologue dans l'autre figure.

Utilisons l'exemple suivant pour mieux comprendre :

Exemple — Déterminer une mesure manquante

Considérons les deux figures semblables suivantes (on assume qu'elles sont semblables lorsque le problème le dit) :

On cherche à connaître la mesure FG.

1. On doit d'abord comparer la paire de côtés homologues dont on connaît les mesures

   Les côtés AB et EF sont homologues.

   $mAB = 22{,}25\text{ m}$     $mEF = 39{,}45\text{ m}$

   On détermine le rapport (k) entre ces deux côtés

   $\dfrac{39{,}45\text{ m}}{22{,}25\text{ m}} = 1{,}77$

   Le rapport de similitude est donc de 1,77.

2. À l'aide du rapport d'homothétie, on détermine la mesure manquante

   Puisque FG (dont on cherche la mesure) est homologue à BC (dont on connaît la mesure), nous utiliserons cette paire pour notre calcul.

   $mBC = 13{,}75\text{ m}$

   $13{,}75\text{ m} \times 1{,}77 = 24{,}38\text{ m}$

   La mesure de FG est donc de 24,38 m.

Exercice

Détermine la mesure manquante parmi les figures semblables suivantes.