6.2 L'aire des prismes et des cylindres

Qu'ont en commun les prismes et les cylindres? Ils partagent plusieurs caractéristiques qui font que l'aire de ces deux types de solides se calcule avec la même stratégie. En effet, les deux possèdent deux faces isométriques et parallèles ainsi que des parois perpendiculaires à leur base. On pourrait même dire qu'un prisme dont la base est un polygone régulier avec une infinité de côtés est un cylindre!

6.2.1 L'aire latérale et son calcul

Lorsqu'on développe un prisme ou un cylindre, on obtient deux formes différentes. Dans tous les cas, on obtient deux bases et un rectangle. Ce rectangle constitue la somme de tous les côtés du prisme. On dira que l'aire de ce rectangle est l'aire latérale du prisme.

Pour les prismes comme pour les cylindres, on peut calculer l'aire latérale avec la formule suivante:

$$\text{Aire}_{\text{latérale}} = \text{Périmètre}_{\text{base}} \times \text{Hauteur}_{\text{prisme}}$$

Dans le cas des prismes, le périmètre se calcule en effectuant la somme des côtés de la base.

Voici un exemple rapide pour calculer l'aire latérale d'un prisme:

Exemple — Aire latérale d'un prisme

Considérons le prisme suivant:

1. Pour mieux visualiser les dimensions du prisme, on peut d'abord dessiner le développement.

   

2. Pour pouvoir calculer l'aire latérale, il faut connaître la hauteur du prisme (100 cm) ainsi que le périmètre de la base (inconnu). On doit donc déterminer cette mesure.

   La base de ce prisme est un rectangle, on comptera deux fois chaque mesure (50 cm et 75 cm).

   $$\text{Périmètre} = 50 + 50 + 75 + 75$$ $$\text{Périmètre} = 250\ \text{cm}$$

3. On peut maintenant calculer l'aire latérale.

   $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = \text{Périmètre}_{\text{base}} \times \text{Hauteur}_{\text{prisme}}$$ $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = 250\ \text{cm} \times 100\ \text{cm}$$ $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = 25\,000\ \text{cm}^2$$

Dans le cas des cylindres, déterminer la mesure du périmètre de la base revient à déterminer la circonférence du cercle ($C = \pi d$ ou $C = 2\pi r$).

Voici un exemple rapide du calcul de l'aire latérale d'un cylindre.

Exemple — Aire latérale d'un cylindre

Considérons le cylindre suivant:

1. Pour mieux visualiser les dimensions du cylindre, on peut d'abord dessiner le développement.

   

2. Pour pouvoir calculer l'aire latérale, il faut connaître la hauteur du cylindre (8 cm) ainsi que le périmètre de la base (circonférence). On doit donc commencer par la circonférence.

   $$\text{Circonférence} = 2\pi r$$ $$C = 2 \times \pi \times 3\ \text{cm}$$ $$C = 18{,}85\ \text{cm}$$

3. On peut maintenant calculer l'aire latérale.

   $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = \text{Périmètre}_{\text{base}} \times \text{Hauteur}_{\text{prisme}}$$ $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = 18{,}85\ \text{cm} \times 8\ \text{cm}$$ $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = 150{,}80\ \text{cm}^2$$

Dans le cas du prisme et du cylindre, certains auront compris que l'aire latérale forme un rectangle et que la formule $\text{Aire}_{\text{latérale}} = \text{Périmètre}_{\text{base}} \times \text{Hauteur}_{\text{prisme}}$ correspond à la formule de l'aire d'un rectangle $\text{Aire}_{\text{rectangle}} = \text{Base} \times \text{Hauteur}$.

6.2.2 La formule générale

Maintenant que nous savons calculer l'aire latérale, on pourra calculer l'aire totale du prisme ou du cylindre. Nous y arriverons en additionnant l'aire de ses deux bases avec l'aire latérale. On obtiendra donc la formule suivante:

$$\text{Aire}_{\text{totale}} = 2 \times \text{Aire}_{\text{base}} + \text{Aire}_{\text{latérale}}$$

Voici donc un exemple de l'utilisation de la formule complète.

Exemple — Aire totale d'un prisme

Considérons le prisme suivant:

1. On peut s'aider en dessinant le développement du prisme.

   

2. On calcule d'abord l'aire d'une des bases du prisme (on aurait aussi bien pu commencer par l'aire latérale).

   $$\text{Aire}_{\text{pentagone}} = \dfrac{n \cdot c \cdot a}{2}$$ $$\text{Aire}_{\text{pentagone}} = \dfrac{5 \cdot 9{,}4 \cdot 6{,}4}{2}$$ $$\text{Aire}_{\text{pentagone}} = \dfrac{300{,}8}{2}$$ $$\text{Aire}_{\text{pentagone}} = 150{,}4\ \text{mm}^2$$

3. On peut maintenant calculer l'aire latérale du prisme.

   $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = \text{Périmètre}_{\text{base}} \times \text{Hauteur}_{\text{prisme}}$$ $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = (\text{nombre de côtés} \times \text{mesure d'un côté}) \times 18\ \text{mm}$$ $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = (5 \times 9{,}4\ \text{mm}) \times 18\ \text{mm}$$ $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = 47\ \text{mm} \times 18\ \text{mm}$$ $$\text{Aire}_{\text{latérale}} = 846\ \text{mm}^2$$

4. Calculer l'aire totale.

   $$\text{Aire}_{\text{totale}} = 2 \times \text{Aire}_{\text{base}} + \text{Aire}_{\text{latérale}}$$ $$\text{Aire}_{\text{totale}} = 2 \times 150{,}4\ \text{mm}^2 + 846\ \text{mm}^2$$ $$\text{Aire}_{\text{totale}} = 300{,}8\ \text{mm}^2 + 846\ \text{mm}^2$$ $$\text{Aire}_{\text{totale}} = 1146{,}8\ \text{mm}^2$$

   On a donc une aire totale de $1146{,}8\ \text{mm}^2$ pour ce prisme.

Exercice

Essaie de déterminer l'aire du cylindre suivant et corrige-toi à l'aide de la vidéo.