6.3 L'aire des pyramides

Alors que la théorie associée à la dernière section à l'étude était imposante, celle de la section actuelle sera très courte. Malheureusement pour certains qui n'aiment pas lire, j'en profiterai pour discuter des automatismes en mathématiques.

6.3.1 Qu'est-ce qu'un automatisme, pourquoi les éviter et comment s'en prémunir?

Un automatisme, en mathématique comme dans d'autres domaines, est le fait d'accomplir une action sans s'intéresser à ce qui fait que cette action fonctionne. C'est atteindre un résultat sans réfléchir à ce qui a été nécessaire pour y arriver.

Automatisme

Accomplissement de mouvements, d'actes, sans participation de la volonté.

Vous-même avez probablement vécu de bons exemples d'automatismes dans les derniers chapitres où l'utilisation de formules était plus fréquente. Dans ce genre de situations, on utilise à répétition des formules qui nous sont fournies sans même se demander pourquoi ou comment?!

Des formules comme celle de l'aire d'un trapèze sont de bons exemples d'automatismes. Posez-vous la question si vous vous êtes demandés pourquoi les bases doivent être additionnées avant d'être divisées par 2?

En écrivant ce paragraphe, je me suis moi-même rendu compte que je vivais un automatisme. J'ai donc fait un détour de près d'une heure pour tenter de m'en sortir. Même vos enseignants ne sont pas à l'abri de ceux-ci.

Restez curieux et défiez les idées préconçues.

De retour à nos moutons. Dans cette section, je vous présenterai deux formules pour calculer l'aire des pyramides. L'une d'elles pourra être utilisée comme un automatisme alors que l'autre demandera plus de réflexion de votre part. Les deux vous mèneront au même résultat mais le chemin emprunté ne sera pas le même.

6.3.2 Méthode réfléchie (légèrement)

Pour pouvoir utiliser cette méthode (comme l'autre), on doit d'abord apprendre ce qu'est l'apothème d'une pyramide.

Apothème

Dans une pyramide, l'apothème correspond à la mesure allant du sommet de la pyramide jusqu'au centre d'un des côtés de la base.

La première méthode que je vous présente est basée sur le développement des pyramides. La formule de l'aire totale est la suivante:

$$A_{t} = A_{b} + A_{L}$$

où $A_{b}$ correspond à l'aire de la base et $A_{L}$ correspond à l'aire latérale.

Ici, l'aire de la base est facile à calculer (voir chapitre 5.2) mais l'aire latérale demande plus d'attention.

Dans le cas d'une pyramide, l'aire latérale correspond à tous les triangles qui forment les côtés de la pyramide.

On peut remarquer que l'apothème de la pyramide devient la hauteur des triangles qui forment l'aire latérale.

Pour calculer l'aire latérale, il faut donc calculer l'aire des triangles qui forment les côtés de la pyramide.

Une fois l'aire latérale obtenue, il suffit de l'additionner à l'aire de la base pour obtenir l'aire totale.

$$A_{t} = A_{b} + A_{L}$$

Voici comment calculer l'aire d'une pyramide à l'aide de cette méthode:

Exemple — Aire d'une pyramide (méthode réfléchie)

Considérons la pyramide suivante:

1. Dessinons d'abord le développement du solide.

   

2. On peut alors calculer l'aire de la base.

   $$A_{b} = (b \times h) \div 2$$ $$A_{b} = (27 \times 23{,}5) \div 2$$ $$A_{b} = 634{,}5 \div 2$$ $$A_{b} = 317{,}25\ \text{m}^2$$

3. Il faut maintenant calculer l'aire de l'un des côtés.

   $$A_{b} = (b \times h) \div 2$$ $$A_{b} = (27 \times 26{,}2) \div 2$$ $$A_{b} = 707{,}4 \div 2$$ $$A_{b} = 353{,}7\ \text{m}^2$$

4. On calcule alors l'aire latérale en multipliant l'aire d'un des côtés par le nombre de côtés.

   $$A_{L} = A_{c} \times 3$$ $$A_{L} = 353{,}7 \times 3$$ $$A_{L} = 1061{,}1\ \text{m}^2$$

5. On applique ensuite la formule globale.

   $$A_{t} = A_{b} + A_{L}$$ $$A_{T} = 317{,}25 + 1061{,}1$$ $$A_{T} = 1378{,}35\ \text{m}^2$$

6.3.3 Méthode automatique

Encore une fois cette méthode fait appel à l'apothème de la pyramide. Par contre, comme son nom le mentionne, très peu de réflexion passe par cette méthode.

$$A_{T} = \dfrac{P_{B} \cdot A}{2}$$

on peut élaborer davantage en assumant qu'on calcule le périmètre de la base ($P_{B}$) en multipliant la mesure d'un côté de la base ($C_{b}$) par le nombre de côtés de la base ($n$).

On obtient alors la formule:

$$A_{T} = \dfrac{n \cdot C_{b} \cdot A}{2}$$

En appliquant correctement cette formule, il est facile d'obtenir «d'un coup» l'aire totale d'une pyramide.

Reprenons la pyramide du dernier exemple pour prouver notre point.

Exemple — Aire d'une pyramide (méthode automatique)

Considérons à nouveau la pyramide suivante:

1. Identifier chacune des composantes de la formule.

   $$A_{T} = \dfrac{n \cdot C_{b} \cdot A}{2}$$

   ici, la base dispose de trois côtés ($n = 3$)

   la mesure d'un côté de la base est de 27 m ($C_{b} = 27\ \text{m}$)

   l'apothème mesure 26,2 m ($A = 26{,}2\ \text{m}$)

2. Appliquer la formule.

   $$A_{T} = \dfrac{n \cdot C_{b} \cdot A}{2}$$ $$A_{T} = \dfrac{3 \cdot 27 \cdot 26{,}2}{2}$$ $$A_{T} = \dfrac{2122{,}2}{2}$$ $$A_{T} = 1061{,}1\ \text{m}$$

   On obtient effectivement la même réponse qu'avec l'autre démarche.

Le point de cette leçon était évidemment de vous mettre en garde contre les automatismes. La majorité d'entre vous adopterez probablement la deuxième formule puisqu'elle est plus rapide. Par contre, ceux qui le feront seront handicapés dans leur capacité à résoudre des problèmes plus complexes qui demandent à être capable de décortiquer un problème. Les formules mathématiques sont des outils puissants qui doivent être utilisés avec précaution.