8.3 Les mesures de tendance centrale

Lorsqu'on cherche à obtenir un portrait rapide d'un ensemble de données, les graphiques et les diagrammes sont parfois trop longs à générer (que ce soit à la main ou par ordinateur). Il existe donc d'autres techniques pour tirer de l'information des résultats d'une étude statistique. Dans cette section, nous discuterons des mesures de tendance centrale. Comme le nom le dit, ces techniques aident à mettre en évidence les tendances dans un ensemble de données. Ce sont des mesures aux capacités limitées mais qui peuvent être extrêmement utiles.

8.3.1 Le mode

Le mode est de loin la plus simple des mesures de tendance centrale. Dans un ensemble de données, on identifie le mode comme étant la plus fréquente des données. Le mode est donc la donnée qui se répète le plus souvent ou encore celle qui a la plus grande fréquence relative.

Prenons par exemple l'ensemble de données suivant :

Nombre de téléviseurs à la maison :

1, 2, 2, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 2, 1

Lorsqu'on place ces données en ordre croissant, on remarque que la donnée qui revient le plus souvent est le 2. Le mode de cet ensemble de données est donc 2.

8.3.2 La moyenne

Probablement la plus utilisée des mesures en statistique, la moyenne arithmétique (son nom complet) permet de déterminer le «point d'équilibre» d'un ensemble de données. La moyenne arithmétique s'applique (comme son nom l'indique) seulement aux nombres (les données quantitatives). On calcule donc la moyenne comme suit :

$\text{Moyenne} \left(\bar{X}\right) = \dfrac{\text{Somme des valeurs de l'ensemble étudié}}{\text{Nombre de valeurs étudiées}}$

Calculons ensemble la moyenne d'un ensemble de données :

Exemple — Calcul de la moyenne

Considérons les données présentées précédemment :

Nombre de téléviseurs à la maison :

1, 2, 2, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 2, 1

On utilisera la formule :

$\bar{X} = \dfrac{\text{Somme des valeurs de l'ensemble étudié}}{\text{Nombre de valeurs étudiées}}$

1. On calcule d'abord la somme des données.

   $\sum = 1+2+2+3+2+1+4+3+2+1+1+3+4+2+2+3+1+2+4+2+2+1 = 48$

2. On compte ensuite le nombre de données (il y en a 22).

3. On place ces valeurs dans la formule de la moyenne.

   $\bar{X} = \dfrac{\sum \text{des valeurs}}{\text{Nombre de valeurs}} = \dfrac{48}{22} \approx 2{,}18$

Il y a donc, en moyenne, 2,18 téléviseurs par maison dans la population étudiée.

8.3.3 La médiane

La médiane peut parfois sembler être la même valeur (et même l'être exactement) que la moyenne mais lorsqu'on trouve la médiane, on identifie la donnée qui partage un ensemble ordonné de données en deux groupes ayant le même effectif. La médiane est donc la donnée du milieu dans un ensemble de données.

Ex : Dans ce groupe de sept données, la médiane est la 4$^{e}$ donnée.

On retrouve donc 3 données de chaque côté de la médiane.

Pour trouver la médiane d'un ensemble de données, on doit avoir :

• Des données quantitatives
• Des données ordonnées (placées en ordre croissant ou décroissant)

On calcule la médiane à l'aide de la formule suivante :

$\text{Médiane} = \dfrac{\text{Nombre de données} + 1}{2}$

Le nombre obtenu avec cette formule correspond à la position de la médiane dans l'ensemble de nombres et non à la valeur de la médiane.

Attention

Si le nombre obtenu est un nombre se terminant par X,5, on doit faire la moyenne des deux données bordant cette position pour trouver la valeur de la médiane.

Essayons de déterminer la médiane dans l'ensemble suivant :

Exemple — Calcul de la médiane

Considérons les données suivantes :

2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 11

1. On compte le nombre de données (il y en a 16).

2. On utilise la formule de la médiane.

   $\text{Médiane} = \dfrac{\text{Nombre de données} + 1}{2} = \dfrac{16+1}{2} = 8{,}5$

   La médiane se trouve donc à la position 8,5 dans l'ensemble de données.

3. Puisque la position de la médiane est 8,5, il faut faire la moyenne des 8$^{e}$ et 9$^{e}$ données.

   La 8$^{e}$ donnée est 6.

   La 9$^{e}$ donnée est 7.

   $\bar{X} = \dfrac{6+7}{2} = 6{,}5$

   La médiane a donc une valeur de 6,5.

8.3.4 L'étendue

La dernière des mesures de tendance centrale est l'étendue. Cette mesure se réfère simplement à l'écart numérique entre la plus grande et la plus petite valeur d'un ensemble de données. On calcule donc l'étendue avec la formule suivante :

$\text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}$

Calculons rapidement l'étendue d'un ensemble de données.

Exemple — Calcul de l'étendue

Considérons l'ensemble suivant :

2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 11

1. On identifie la valeur maximale et minimale.

   Maximum : 11

   Minimum : 2

2. On utilise la formule.

   $\text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale} = 11 - 2 = 9$

Il y a donc 9 unités d'écart entre la plus grande et la plus petite donnée dans cet ensemble.

Exercice

Détermine toutes les mesures de tendance centrale pour cet ensemble de données :

62 64 65 65 66 68 69 72 75 78 79 79 81 82 82 84 85 86 87 89