9.2 Les expériences aléatoires composées

Bien souvent, une expérience aléatoire, donc une expérience qui dépend du hasard, est faite de plusieurs évènements. En fait, la plupart des jeux de hasard reposent entièrement sur des évènements aléatoires composés.

Évènement aléatoire composé : Une expérience aléatoire qui se réalise en plusieurs étapes.

Exemples :

• Obtenir «Face» en lançant une pièce de monnaie ainsi qu'un «5» lors du lancer d'un dé. On a donc une expérience composée à deux évènements.
• Pour gagner au «Loto 6/49», on doit obtenir les six nombres tirés au hasard. On a donc une expérience composée à six évènements.

9.2.1 Le ET / OU en probabilités

L'une des notions les plus importantes en probabilité est la distinction entre le fait de dire «et» ou de dire «ou» lors d'une expérience composée.

Et	Ou
Obtenir «face» en lançant une pièce et un «5» en lançant un dé Obtenir «B11» et «O68» au Bingo	Tirer une carte de cœur ou de pique Réaliser une ligne ou une colonne au Bingo

Le fait de dire ET/OU lors de l'énoncé d'une expérience affecte la manière dont on calculera la probabilité d'un évènement composé. Dans tous les cas, pour calculer la probabilité d'un évènement composé, on commence par calculer la probabilité élémentaire de chacun des évènements qui composent l'évènement auquel on s'intéresse.

Probabilité élémentaire : Probabilité d'un évènement à un seul résultat possible.

Lorsque la probabilité élémentaire de chaque résultat est calculée, on doit :

• additionner les probabilités élémentaires s'il s'agit d'un OU
• multiplier les probabilités élémentaires s'il s'agit d'un ET

Le résultat obtenu représentera la probabilité que l'évènement composé se réalise.

Faisons un exemple ensemble

Considérons l'évènement suivant : Quelle est la probabilité de tirer une carte de cœur ou un 7 dans un jeu de 52 cartes?

1. On calcule d'abord les probabilités élémentaires des deux évènements.

   $$\text{Probabilité} = \dfrac{\text{Nombre de résultat(s) favorable(s)}}{\text{Univers des possibles}}$$ $$P = \dfrac{13}{52} = 0{,}25 \text{ ou } 25\%$$

   Il y a quatre 7 dans un jeu de cartes.

   $$P = \dfrac{4}{52} = 0{,}077 \text{ ou } 7{,}7\%$$

2. On choisit ensuite l'addition ou la multiplication.

   Puisque l'énoncé nous dit « ...tirer une carte de cœur ou un 7 dans... », on choisira d'additionner les probabilités élémentaires.

3. On calcule la probabilité composée.

   $$P_c = 0{,}25 + 0{,}077 = 0{,}327 \text{ ou } 32{,}7\%$$

Attention!

Lors des calculs de probabilités composées, il faut toujours effectuer les calculs à l'aide des probabilités en valeurs décimales (utiliser 0,25 et non 25%). Lors des multiplications, l'utilisation des pourcentages produira une réponse fausse ou même impossible.

9.2.2 L'univers des possibles dans les expériences composées

Évidemment, les expériences aléatoires composées sont plus complexes que les expériences uniques. Cette complexité se traduit par un nombre plus grand de résultats possibles.

Pour calculer le nombre de résultats possibles, on peut utiliser deux formules. La distinction entre ces deux formules est la notion d'évènements avec remise ou sans remise.

Exemples :

• Au Bingo, lorsqu'une boule est tirée, elle n'est pas remise dans le système avant la fin de la partie. On joue donc sans remise.
• Lorsqu'on tire un dé deux fois, même si on a obtenu un 3 au premier lancer, il est toujours disponible au deuxième lancer. On joue donc avec remise.

On peut calculer le nombre de résultats possibles à l'aide des deux formules suivantes :

Faisons un exemple ensemble

Combien de résultats sont possibles (univers des possibles) lorsqu'on lance un dé à 6 faces (1 à 6) puis un autre dé à 4 faces (1 à 4)?

1. On détermine d'abord s'il s'agit d'une situation avec ou sans remise.

   Ici, puisqu'il s'agit d'une situation où le résultat de la première expérience (le dé à six faces) n'influence pas le résultat de la deuxième expérience (le dé à quatre faces), on dira qu'il s'agit d'une expérience avec remise.

2. On détermine le nombre de possibilités à chaque position.

   Dans ce calcul, les positions représentent les actions de l'expérience.

   La première position représente le 1$^{er}$ dé (à 6 faces). Il y a 6 possibilités à la 1$^{ère}$ position.

   La deuxième position représente le 2$^{e}$ dé (à 4 faces). Il y a 4 possibilités à la 2$^{e}$ position.

3. On calcule le nombre de résultats possibles (arrangements) à l'aide de la formule.

   $$\text{Nbr résultats} = \text{Possibilités } 1^{\text{ère}} \text{ position} \times \text{Possibilités } 2^{\text{e}} \text{ position}$$ $$\text{Nbr résultats} = 6 \times 4 = 24$$

9.2.3 Les diagrammes en arbres

Les diagrammes en arbre sont un autre très bon outil pour déterminer le nombre de résultats possibles d'une expérience composée. Ils sont davantage utiles pour visualiser les choix possibles et les combinaisons d'expériences composées.

Pour voir comment construire un diagramme en arbre, on utilisera l'exemple suivant :

Bertrand possède 4 chemises et trois pantalons différents, combien d'ensembles différents est-il possible de faire avec sa garde-robe?

On crée un premier embranchement pour les chemises (il y aura 4 branches pour les 4 chemises).

À chacune des quatre chemises, on crée un deuxième embranchement pour les pantalons (il y aura donc 4 embranchements à 3 branches au deuxième niveau de l'arbre).

Une fois terminé, le diagramme en arbre nous permet de compter le nombre de résultats possibles (le nombre de branches à droite nous l'indique). Ici, on a 12 branches finales, donc 12 résultats possibles (12 ensembles possibles pour Bertrand).

Exercice

Puisqu'il n'aime pas la routine, Samuel a décidé d'inclure le hasard dans son choix d'activité lors de ses temps libre.

Il place dans un premier chapeau ses activités (écouter Netflix sur son iPad, jouer sur son cellulaire, pratiquer la guitare, s'amuser avec son chien) et les lieux où il pratique ces activités dans un deuxième chapeau (sa chambre, le salon, la cour arrière, le sous-sol).

1. Détermine le nombre de résultats possibles pour les passe-temps de Samuel.
2. Détermine la probabilité qu'il utilise un appareil électronique à l'intérieur.