4.1 – Les types de fonctions

L'an passé, nous avons découvert deux types de fonctions très importantes et versatiles. Cette année, nous passerons du temps à couvrir le reste des grandes catégories de fonctions. Vous verrez qu'il en existe une variété qui peut sembler parfois imposantes mais vous verrez que votre maîtrise de la fonction linéaire au chapitre 1 vous aura bien outillée pour le chapitre à venir.

4.1.1 – La fonction polynomiale de degré 0 (fonction linéaire)

Bien connue pour vous, la fonction polynomiale de degré 0 (mieux connue comme la fonction constante pour nous) est une fonction linéaire dont le taux de variation est nul.

Puisque le taux de variation est nul, $a = 0$

On obtient donc une fonction $y = 0x + b$ ou, plus simplement, $y = b$

La fonction linéaire a l'allure suivante :

$y = 3$

4.1.2 – Fonction polynomiale de degré 1 (fonction linéaire)

Cette fonction n'a pas vraiment besoin de présentation pour vous…

Nous pourrions simplement rappeler que son nom fonction polynomiale de degré 1 vient du fait qu'elle contient un polynome (expression algébrique à plus d'un terme) dont le plus grand exposant est 1.

Nous pourrions donc exprimer la règle de la fonction comme $y = ax^{1} + b$. Cela ne change absolument rien à son fonctionnement, mais met en évidence l'exposant de degré 1 de la fonction.

Comme vous le savez, une fonction linéaire a l'allure suivante :

$y = 2x - 4$

4.1.3 – Fonction variation inverse

Vestige de l'an passé, la fonction de variation inverse en est une autre que nous avons couvert en secondaire 3 mais que nous utilisons moins souvent en raison de sa plus faible polyvalence. En effet, moins de situations de la vie s'y rapportent, elle est donc moins utilisée.

La fonction de variation inverse est noté $y = \dfrac{c}{x}$ où $c$ est une valeur constante liée à la situation.

Par exemple, on pourrait s'intéresser au temps nécessaire pour peindre une maison en fonction du nombre de peintres qui participent au chantier. Plus il y aura de peintres, moins le temps pour accomplir la tâche sera grand. Si le temps nécessaire pour 1 peintre est de 40 heures, il en prendra 20 heures à deux peintres. Dans ce cas, la constante $c$ vaudra 40 (heures).

La fonction aura donc cette allure :

$y = \dfrac{40}{x}$

La différence importante cette année est que nous regarderons l'entièreté du plan cartésien, et non seulement le 1$^{er}$ cadran.

La même fonction aura donc cette allure :

4.1.4 – Fonction polynomiale de second degré

La fonction polynomiale de degré 2 est la première nouvelle fonction cette année. Concernant l'équation, elle est semblable à la fonction linéaire à l'exception de l'inclusion d'un exposant 2 à la variable x. Par contre, cet exposant ajouté change drastiquement l'allure de la fonction.

Le modèle de la règle d'une fonction polynomiale de second degré est $y = ax^{2} + bx + c$.

Il existe quelques variables à cette fonction soit : $y = ax^{2}$ ou $y = ax^{2} + bx$

Dans un graphique, cette fonction est toujours caractérisée par une fonction en parabole.

$y = x^{2}$

$y = x^{2} - 3x + 4$

4.1.5 – La fonction périodique

Au même titre que la fonction polynomiale de second degré, une autre fonction en courbe que nous couvrirons cette année est la fonction périodique (aussi appelée fonction sinus ou sinusoïdale). Cette fonction est caractérisée par l'inclusion de la fonction sinus (habituellement utilisée en trigonométrie) au sein même de la fonction. Elle a habituellement la forme $y = \sin x$ (avec quelques variantes)

La fonction périodique a l'allure suivante :

$y = \sin x$

4.1.6 – La fonction exponentielle

Notre dernière fonction en courbe à voir cette année est la fonction exponentielle. Cette fonction est traditionnellement associée aux situations d'argent ou de populations. L'allure de la fonction est représentative d'une croissance graduelle mais qui est de plus en plus importante.

La fonction exponentielle est notée $y = base^{x}$ (il en existe quelques variantes) et a l'allure suivante :

$y = 1{,}25^{x}$

4.1.7 – La fonction escalier

La fonction escalier, aussi appelée fonction partie entière ou fonction à paliers, est une fonction à l'allure très distinguée. La fonction escalier, comme son nom l'indique est une fonction qui est séparée en plusieurs marches (une infinité de marche si on le permet). Ces marches ne sont pas reliées entre elles mais elle se chevauchent parfaitement de manière à couvrir l'ensemble des valeurs de x.

La fonction escalier se note $y = a[x]+k$, ce sont les parenthèses carrées qui forcent les valeurs à demeurer entières pour toutes les valeurs de y, ce qui confère à la fonction son look particulier.

La fonction a donc cette allure :

$y = 2[x]$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel vision Vol.2

p.19 #1, 2, 3a, 5, 6, 7, 9.