4.3 – La fonction polynomiale de degré 2

La première des nouvelles fonctions à voir cette année, la fonction polynomiale de degré 2 en est une qui peut parfois paraître complexe mais qui, en réalité, est très simple.

Cette année, nous ne verrons que la fonction polynomiale de degré 2, aussi appelée fonction quadratique, de type $y = ax^{2}$. Le seul facteur ayant une influence sur l'allure de la fonction est donc la valeur de a.

4.3.1 – L'influence du coefficient a

Lorsqu'on s'intéresse au look d'une fonction quadratique, on remarque rapidement quelle influence peut avoir le a dans la fonction. Son influence se manifeste de deux manières.

Influence de l'étirement/contraction de la fonction

En comparant la fonction de base $y_{1} = 1x^{2}$ aux fonction $y_{2} = 2x^{2}$ et $y_{3} = 0{,}5x^{2}$, on remarque que la variable a influence l'étirement de la fonction (ouverture de la parabole)

On peut voir les trois fonctions tracées dans le graphique suivant :

On peut conclure que plus le a est grand, plus la parabole est refermée sur elle-même et plus le a est petit, plus la parabole est ouverte.

L'influence du sens de la fonction

Un autre impact de la valeur de a est de déterminer l'orientation de la parabole. En comparant une fonction au a positif ($y_{1} = 2x^{2}$) à une fonction au a négatif ($y_{2} = -2x^{2}$), on remarque la deuxième est inversée.

On peut conclure que lorsque le a est positif, la parabole est ouverte vers le haut (ouverture vers les valeurs positives) et lorsque le a est négatif, la parabole est ouverte vers le bas (les valeurs négatives).

4.3.2 – Déterminer le coefficient a

La technique pour déterminer la valeur du coefficient a est bien simple. On peut appliquer une formule tirée d'une isolation algébrique de la valeur a (on isole a dans la formule $y = ax^{2}$) ou y aller avec une approche plus logique.

La formule

$a = \dfrac{y}{x^{2}}$

Nous verrons comment utiliser la formule dans l'exemple qui suivra.

L'autre technique, bien plus simple encore, consiste à utiliser la propriété mathématique de l'exposant sur une base 1. En effet, lorsqu'on affecte une base un d'un exposant positif (peu importe la valeur de l'exposant), le résultat est toujours de 1. Ainsi, si on étudie la valeur de y lorsque x vaut 1, on obtiendra automatiquement la valeur du a.

Nous verrons aussi comment utiliser cette technique dans l'exemple suivant.

Voici donc comment déterminer la valeur du a avec les deux techniques.

Considérons la fonction suivante :

1. On doit d'abord (idéalement), remplir une courte tableur de valeur pour la fonction observée.

x	-1	0	1	2	3	4
y	-0,25	0	0,25	1	2,25	4

2. On analyse ensuite la table de valeur pour déterminer la valeur de a

Si on applique la formule $a = \dfrac{y}{x^{2}}$ avec le point (2, 1)

On obtient :

$a = \dfrac{1}{2^{2}}$

$a = \dfrac{1}{4}$

$a = 0{,}25$

Vous pouvez tester la formule avec n'importe quelle coordonnée de la fonction et vous obtiendrez toujours la même valeur de a.

L'autre option est de regarder la valeur de y lorsque x vaut 1 dans la table de valeur, on remarque que sa valeur est de 0,25, ce qui correspond à la valeur obtenue à l'aide de la formule.

On obtient donc un a d'une valeur de 0,25, la fonction du graphique est donc $y = 0{,}25x^{2}$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol 2,

p. 30, # 1(ac), 2(ab), 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12