4.4 – La fonction exponentielle

La seconde nouvelle fonction que nous introduisons cette année est la fonction exponentielle. Un peu à l'image de la fonction quadratique précédente, on retrouve dans la fonction exponentielle la variable a, qui jouera cependant un autre rôle que dans la fonction quadratique, et une nouvelle variable, la base.

La fonction exponentielle se note ainsi :

$y = a(\text{base})^{x}$

4.4.1 – Le rôle de la base

Dans la fonction exponentielle, la base est la variable qui est directement affectée par l'exposant (la valeur de x). La base est donc la variable qui déterminera l'inclinaison de la courbe, un peu au même titre que le taux de variation dans la fonction linéaire.

Cinq grands principes peuvent être observés quant à la base d'une fonction exponentielle :

• Si base > 1, la courbe sera montante
• Si base = 1, la fonction sera une droite parfaitement horizontale
• Si 0 < base < 1, la courbe sera descendante
• Lorsque base > 1, plus la base est grande, plus la courbe est abrupte
• Lorsque base < 1, plus la base se rapproche de 0, plus la courbe est abrupte

Sur votre calculatrice graphique (ou Desmos), testez les combinaisons de fonctions suivantes pour les comparer. Vous en découvrirez davantage sur le rôle de la base dans la fonction exponentielle.

• Combinaison 1 : $y_{1} = 2^{x}$ et $y_{2} = 3^{x}$
• Combinaison 2 : $y_{1} = 2^{x}$ et $y_{2} = 1{,}25^{x}$
• Combinaison 3 : $y_{1} = 2^{x}$ et $y_{2} = 1^{x}$
• Combinaison 4 : $y_{1} = 0{,}5^{x}$ et $y_{2} = 0{,}1^{x}$

4.4.2 – Le rôle de la variable a

La variable a, malheureusement, a un rôle un peu moins facile à expliquer. Essentiellement, la variable a joue le rôle de multiplicateur de la fonction, ce qui a pour effet d'exagérer la tendance donnée à la fonction par sa base.

Ici, on peut observer trois grands principes :

• Lorsque a > 1, la fonction est plus loin de l'axe des x
• Lorsque a < 1, la fonction est près de l'axe des x
• Lorsque a est négatif, la fonction subit une réflexion par rapport à l'axe des x

Voici deux ensembles de fonctions qui vous permettront de mieux comprendre l'impact de la variable a

On remarque que les quatre fonctions ont la même allure et se «dirigent» vers le même endroit. Toutefois, plus le a est grand, plus la fonction semble élevée.

On remarque ici que les fonctions sont les mêmes qu'à l'image précédente mais que la fonction $y_{2}$ et $y_{4}$ sont inversées. Toutes leurs valeurs sont les mêmes que précédemment, mais négatives.

4.4.3 – Déterminer la valeur de a

En dépoussiérant quelques principes de base des exposants, il est possible de déterminer une marche à suivre très simple pour calculer les deux variables de la fonction exponentielle

On peut très simplement déterminer la variable a en exploitant la propriété de l'exposant 0. En effet, lorsqu'un exposant 0 est placé sur n'importe quelle base, on obtient 1. Ainsi, en observant la valeur de y lorsque x = 0, on obtient directement la valeur de a !

Voici un exemple simple pour cette démarche :

Considérons le graphique suivant :

En observant rapidement, on remarque que lorsque x = 0, y = 3. Ceci nous indique que la valeur de a est de 3.

En effet, la fonction illustrée est $y = 3 \cdot 2^{x}$, donc la technique fonction bien!

On peut aussi faire la preuve rapidement pour notre raisonnement :

$y = 3 \cdot 2^{x}$

Remplaçons x par 0

$y = 3 \cdot 2^{0}$

On obtient

$y = 3 \cdot 1$

Donc $y = 3$

C'est donc avec cette propriété des exposants qu'on peut calculer la valeur de a.

4.4.4 - Déterminer la valeur de la base

Ensuite, on calcule la valeur de la base en utilisant à nouveau une propriété des exposants. Cette fois-ci, nous utilisons le fait qu'un exposant 1 n'affecte pas la valeur de la base.

Pour déterminer la valeur de la base, on :

• commence par identifier la valeur de la variable a
• identifie la coordonnée (1, y), c'est-à-dire la coordonnée pour laquelle la fonction a une valeur de x qui vaut 1
• On remplace x et y dans la fonction
• On isole la base

Voyons ensemble un exemple de la démarche :

Considérons la fonction suivante :

1. Déterminer la valeur de la variable a

Puisque la fonction passe par le point (0 , 2), on en déduit que la valeur de a est de 2.

2. Identifier la coordonnée (1, y)

Dans le graphique, on peut voir que lorsque x vaut 1, y vaut 3 On a donc la coordonnée (1, 3) à placer dans notre fonction.

3. On place ensuite les coordonnées du point (1,3) dans la règle de la fonction

$y = a(\text{base})^{x} \text{ où } a \text{ vaut } 2$

$y = 2 (\text{base})^{x}$

$3 = 2 (\text{base})^{1}$

Puisque l'exposant 1 n'a pas d'influence sur la valeur de la base, on peut l'effacer

$3 = 2 (\text{base})$

On isole ensuite la base pour déterminer sa valeur

$\dfrac{3}{2} = \dfrac{2(\text{base})}{2}$

$1{,}5 = \text{base}$

On a donc déterminé que la valeur de la base est de 1,5

La règle de cette fonction est donc $y = 2 \cdot 1{,}5^{x}$

4.4.5 – Croissance ou décroissance d'un nombre

Lorsqu'on applique une croissance ou décroissance périodique (par semaine, par mois, par année, etc.) en pourcentage à un nombre, on peut utiliser les fonctions exponentielles pour représenter ces situations.

Dans le modèle $y = a (\text{base})^{x}$, les variables joueront les rôles suivants :

• la variable a prendra la valeur du nombre qui subit la croissance/décroissance
• la base prendra la valeur du taux de croissance (% transformé en valeur décimales)
• le x prendra la valeur du temps (unités de mesures variables)

Voici un exemple :

Considérons la situation suivante :

Simon fait une culture bactérienne. Il commence sa culture avec une population de 740 bactéries. Ces bactéries suivent une augmentation de population de 10% par jour. Quelle sera sa population bactérienne dans 2 semaines?

1. Plaçons d'abord nos informations dans la formule

$y = a (\text{base})^{x}$

où a représente la population initiale (740)

base représente le taux de croissance (100% + 10% = 110% = 1,1)

et x représente le temps en jour.

On obtient donc la formule suivante :

$y = 740 (1{,}1)^{x}$

2. On utilise la formule pour trouver l'information qui nous intéresse

Puisqu'on recherche la population (y) au temps x = 14

On effectuera le calcul suivant :

$y = 740 (1{,}1)^{14}$

$y = 740 \cdot 3{,}797$

$y = 2810{,}15$

On sait donc qu'après deux semaines, Simon aura 2810 bactéries dans sa culture

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol 2

p. 42 # 1, 2(ac), 4(2), 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20