3.3 – Les relations métriques dans les triangles rectangles et le théorème de Thalès

Après deux sections relativement faciles sur les triangles isométriques et les triangles semblables, nous entamons une section plus abstraite. Les relations métriques qui vous seront présentées vous sembleront peut-être complexes mais je tenterai du mieux que je peux de rendre le tout plus clair. Vous verrez, ce n'est pas si complexe.

3.3.0 – La prémisse de départ

Toutes les relations mathématiques présentées dans cette section sont basées sur l'assomption suivante : lorsqu'on abaisse une hauteur à partir du sommet opposé à l'hypoténuse dans un triangle rectangle, on forme deux petits triangles qui sont semblables au triangle initial.

Comme mentionné plus haut, nous pouvons remarquer que le triangle ABC est rectangle. Les triangles ABH et BCH le sont aussi. Nous prenons pour acquis que les triangles ABC, ABH et BCH sont tous semblables (démonstration avec le critère AA avec angle confondu et angle rectangle).

Pour la suite des explications, ainsi que pour les formules présentées, nous utiliserons la figure suivante :

Dans cette figure, chaque lettre minuscule représente un côté d'un triangle. Les côtés m et n sont les deux sections du côté c qui a été séparé par la hauteur h.

3.3.1 – Théorème de la cathète

Dans les triangles rectangles formés, chaque cathète et son hypoténuse est proportionnelle aux autres cathètes homologues et leur hypoténuse.

À partir de ces deux formules, on peut aussi obtenir les formules suivantes qui permettent de résoudre plus facilement certaines situations. Le « produit des extrêmes et des moyens » est une particularité des relations proportionnelles qui nous permet de simplifier les expressions de cette manière.

$a^2 = n \cdot c \qquad b^2 = m \cdot c$

Voici un exemple. Considérons le triangle suivant :

On peut utiliser le rapport entre les hypoténuses et les cathètes des triangles ABC et AHC pour résoudre ce problème.

1. Dans ce cas, on choisirait la formule suivante :

$b^2 = m \cdot c$

2. On remplace donc les informations que l'on connaît.

$45^2 = 41{,}5 \cdot c$

3. On simplifie l'expression et on isole notre variable / on effectue un produit croisé.

$2025 = 41{,}5 \cdot c$

$48{,}80 \text{ cm} = c$

C'est tout! L'essentiel est de reconnaître quels sont les côtés homologues des triangles semblables, cela simplifie beaucoup la résolution de ces problèmes.

3.3.2 – Théorème de la hauteur relative à l'hypoténuse

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit (h) est moyenne proportionnelle entre les deux segments qu'elle forme par rapport à l'hypoténuse (m et n).

Comme expliqué ci-haut, on peut simplifier cette formule sous la forme suivante :

$h^2 = m \cdot n$

3.3.3 – Le théorème du produit des cathètes

Dans un triangle rectangle, le produit de l'hypoténuse (c) et de la hauteur (h) est égal au produit des deux cathètes (a et b).

3.3.4 – Le théorème de Thalès

Des sécantes coupées par des droites parallèles sont partagées en segments de longueur proportionnelles.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol 1.

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