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4.4 – L’espérance mathématique

Lorsque vient le temps de jouer à certains jeux de hasard, il est clair que certaines situations sont plus risquées que d’autres. Certains jeux de casino sont connus pour donner plus de chances de gagner aux joueurs alors que d’autres sont connus pour être de vraies attrapes. Évidemment, il existe un processus mathématique pour évaluer la possibilité de gagner à un jeu de hasard, ce concept s’appelle l’espérance de gain.

4.4.1 – Les facteurs influençant l’espérance de gain​

Considérons d’abord une situation simple : Vous et votre ami pariez 5$ sur le résultat du lancer d’une pièce de 25 cents. Il est évident que chaque joueur court le même risque de perdre que l’autre. Par contre, si un individu parie 10$ et l’autre 5$, cette situation devient rapidement inéquitable. On peut donc conclure que la valeur du gain ou de la perte influence l’espérance mathématique.

Considérons une deuxième situation : Deux amis parient 5$ chacun sur le résultat du lancer d’un dé à six faces. L’un d’eux parie sur les nombres de 1 à 3 et l’autre sur les nombre de 4 à 6. On comprend que ces deux amis ont autant de chance de gagner de l’argent. Par contre, si l’un d’eux mise sur les nombres 1 et 2 alors que l’autre mise sur les nombres 3 à 6, la situation devient à nouveau inéquitable. On peut donc conclure que la probabilité d’un gain ou d’une perte influence l’espérance mathématique.

On comprend donc que l’espérance mathématique est influencée par :

  • La valeur du gain ou de la perte
  • La probabilité du gain ou de la perte

4.4.2 – Le calcul de l’espérance mathématique​

Pour calculer l’espérance mathématique, il faut considérer tous les résultats possibles (avec leurs gain/perte et leur probabilité) pour déterminer l’espérance totale du jeu ou de la situation.

Pour chaque résultat possible on applique la formule suivante :

Espeˊrancea=Gain neta×Probabiliteˊa\text{Espérance}_a = \text{Gain net}_a \times \text{Probabilité}_a

Pour calculer l’espérance totale d’une situation, il suffit de faire la somme de tous les événements individuels :

Espeˊrancetotale=Espa+Espb+Espc+…\text{Espérance}_{totale} = \text{Esp}_a + \text{Esp}_b + \text{Esp}_c + \ldots

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 3 p. 121 #1, 3, 4, 6(abcd), 7, 8, 9 et 10