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4.1 – Les types d’événements

Comme nous l’avons vu par les années précédentes et dans les quelques exercices que vous avez déjà fait, il existe une grande variété d’évènements possibles en probabilités. Certains sont très simples (comme le lancé d’une pièce de monnaie) ou d’autres sont plus complexes (comme les probabilités de gagner au poker en jouant avec plusieurs adversaires). Notre objectif dans cette section sera de caractériser ces évènements et de développer des moyens de représenter visuellement ces évènements et leurs probabilités.

4.1.1 – Les connecteurs logiques​

Comme mentionné dans la section 9.2 du cours de secondaire 2, les termes «et» et «ou» sont considérés comme des connecteurs logiques en probabilités. Ils connectent des évènements en les joignant (et) ou en les alternant (ou). Ceci a un impact important sur la probabilité d’un évènement.

4.1.2 – Les diagrammes de Venn​

Un diagramme de Venn permet de représenter les possibilités d’une expérience aléatoire et de visualiser la relation qui existe entre ces résultats. Pour mieux comprendre ce concept, nous utiliserons un exemple simple.

On lance un dé à 6 faces et on propose deux évènements :

  • Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair?
  • Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre plus petit que 3?

Au premier évènement, les résultats favorables sont :

2, 4 et 6

Au deuxième évènement, les résultats favorables sont :

1 et 2

On peut remarquer plusieurs choses :

  • Le nombre 2 est présent dans les deux évènements
  • Le 3 et le 5 n’appartiennent à aucun évènement
  • le 1, 4 et 6 sont exclusifs à un seul évènement

À l’aide d’un diagramme de Venn, on peut représenter la situation ainsi :

Diagramme de Venn de deux évènements A et B avec les valeurs 1 à 6 placées dans les zones

On peut facilement comprendre la position de chacune des valeurs par rapport aux deux évènements.

Basé sur cet exemple, on peut commencer à développer quelques termes et symboles importants.

  • La zone du diagramme de Venn qui correspond aux deux évènements correspond à la zone du ET (obtenir un nombre pair ET obtenir un nombre plus petit que 3). Cette zone sera identifiée comme A∩B
Diagramme de Venn avec la zone d'intersection A∩B colorée en bleu
  • les deux zones complètes représentent le OU (obtenir un nombre pair OU obtenir un nombre plus petit que 3). Cette zone sera identifiée comme A∪B
Diagramme de Venn avec les deux cercles A et B colorés au complet, représentant l'union A∪B
  • Lorsque deux évènements ne possèdent aucune solution qui appartient aux deux évènements (A∩B = rien) on dira qu’ils sont mutuellement exclusifs.
Diagramme de Venn illustrant deux évènements mutuellement exclusifs, la zone d'intersection colorée en rouge ne contenant aucune valeur
  • Lorsque deux évènements possèdent au moins une solution qui appartient aux deux évènements ( A∩B ≠ rien) on dira qu’ils sont non mutuellement exclusifs.
Diagramme de Venn illustrant deux évènements non mutuellement exclusifs, la zone d'intersection colorée en vert contenant la valeur 2

4.1.3 – Évènements dépendants et indépendants​

Finalement, on souhaite faire la distinction entre des évènements dépendants et indépendants.

Deux évènements sont considérés comme indépendants si le résultat du premier évènement n’affecte pas le deuxième. Par exemple, lorsqu’on lance deux dés, le résultat du 1er^{er} dé n’a aucun impact sur le résultat du 2e^{e}, ces évènements sont donc indépendants.

Deux évènements sont considérés comme dépendants si le résultats du premier affecte les probabilités du 2e^{e}. Par exemple, le fait de retirer une certaine carte affecte les probabilités lorsqu’on tire une deuxième carte de ce même jeu (il en reste maintenant une de moins). Habituellement, les situations sans remise sont dépendantes.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 p. 92 #1, 2, 4, 7, 9, 11, 13, 14, 17