4.2 – Probabilités conditionnelles

En probabilité, on dit qu’une probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un certain évènement se produise sachant qu’un certain autre évènement s’est déjà produit. Dans ces situations, les évènements composant une probabilité conditionnelle doivent être dépendants.

En d’autres termes, on pourrait dire que la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un évènement se produise dans les conditions où un autre évènement s’est déjà produit.

Le calcul des probabilités conditionnelles se fait ainsi :

$P(B \text{ étant donné } A) = P(B \vert A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

On peut expliquer les éléments suivants dans la formule :

Regardons l’exemple suivant pour mieux comprendre :

Considérons la situation suivante:

Un dé à dix faces (1 à 10) est lancé et on souhaite observer les évènements suivants:

A: Un nombre plus grand que 4

B: Un nombre pair

On pose la question suivante: Sachant que le lancé donne un résultat correspondant à l’évènement A, quelle est la probabilité que l’évènement B soit aussi réalisé?

1. On peut d’abord illustrer la situation avec un diagramme de Venn.

2. Puisque l’évènement A se produit en premier, on peut identifier les résultats qui en font parti et déterminer la probabilité de cet évènement.

Sur les 10 résultats possibles, seuls 6 correspondent à l’évènement A

Donc: $P(A) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ ou $0{,}6$

3. On cherche ensuite à identifier les résultats possibles de l’évènement B qui correspondent aussi à l’évènement A (A ∩ B) et calculer la probabilité de cet évènement.

On identifie donc 3 résultats dans la zone A ∩ B sur les 10 résultats possibles

$P(A \cap B) = \dfrac{3}{10}$ ou $0{,}3$

4. Puisqu’on sait que l’évènement A s’est produit, il n’y a pas réellement 10 résultats possibles lorsqu’on calcul les probabilités de l’évènement A ∩ B. On applique donc la formule pour calculer les probabilités conditionnelles.

$P(B \vert A) = \dfrac{(3/10)}{(3/5)} = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$

ou encore

$P(B \vert A) = \dfrac{0{,}3}{0{,}6} = 0{,}5$

Si l’évènement A s’est déjà produit, on a donc 50% de chance que l’évènement B se produise.

Comme vous l’avez sûrement remarqué, cette démarche n’est pas la plus simple et elle peut être réalisée différemment à l’aide de notions déjà vues (et avec un peu de logique) mais cette démarche devient particulièrement pratique dans les situations où les possibilités sont plus vastes (ex : un paquet de cartes plutôt qu’un dé).

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 p. 101 # 1, 2(ace), 3(ace), 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14 et 15