2.2 – Les homothéties dans le plan cartésien

Contrairement aux homothéties vues dans les années précédentes où l’objectif était de déterminer les dimensions de la forme ou de l’objet qui a subi l’homothétie, cette année nous nous intéresserons davantage à la position des sommets des formes. Avec les méthodes vues l’an passé (distance entre deux points Sec 4, chapitre 1.1), il est quand même possible de déterminer les dimensions des formes, mais par des méthodes légèrement plus laborieuses.

2.2.1 – Les principes fondamentaux

Commençons d’abord par un rappel sur les rapports d’homothéties ($k_{1}$, $k_{2}$ et $k_{3}$) :

Lorsque…

Le k est compris entre 0 et 1, l’image sera réduite (contraction)

$0 < k < 1$ crée une contraction

Le k est égal à 1, l’image sera identique à l’objet (aucun changement)

$k = 1$ crée une image identique

Le k est plus grand que 1, l’image sera agrandie (dilatation)

$k > 1$ crée une dilatation

Pour pouvoir trouver les coordonnées des sommets de la figure image, il faut procéder à quelques calculs. Les méthodes que nous verrons plus bas ont comme seul objectif de manipuler (en fonction du k) la distance entre l’origine de l’homothétie (point O) et les sommets de la figure subissant l’homothétie. Dépendant de la situation, cette opération peut être simple ou plus complexe en fonction de la position du centre d’homothétie (habituellement nommé point O). Un centre O placé à l’origine du plan cartésien sera facile à travailler alors qu’un centre O placé ailleurs dans le plan cartésien donne plus de fil à retordre. La résolution de ces deux types de situations est présentée dans les sections plus bas.

2.2.2 – Homothétie avec centre O à (0 , 0)

Essentiellement, les homothéties modifient la distance séparant les coordonnées des sommets et le centre d’homothétie par un facteur k. Dans le cas d’un centre O à (0 , 0), cette distance correspond exactement aux coordonnées des sommets. Il suffit donc de multiplier les coordonnées de chacun des sommets par le facteur k. Voici la formule à utiliser :

$(x', y') = (k \cdot x, k \cdot y)$

C’est tout!

2.2.3 – Homothétie avec centre O ailleurs dans le plan cartésien

Comme mentionné précédemment, ces situations demandent plus de travail mais si les méthodes présentées ci-dessous sont bien compris, la technique n’est pas si complexe.

A. La méthode en pièce détachée

Cette méthode, plus simple à chacune des étapes mais comportant plus d’étapes consiste à :

• Calculer la distance x et y entre chacun des sommets et le point d’origine ($\Delta x = x_{s} - x_{o}$) et ($\Delta y = y_{s} - y_{o}$)
• Multiplier la distance x et y par le rapport d’homothétie pour obtenir la distance entre l’origine et le sommet de l’image ($\Delta x' = k \cdot \Delta x$) et ($\Delta y' = k \cdot \Delta y$)
• Déterminer les coordonnées du sommet de l’image (x’ , y’) avec la formule $(x', y') = (x_{o} + \Delta x', y_{o} + \Delta y')$

Essayons ensemble cette méthode pour un des sommets d’un triangle :

Considérons la situation suivante : dans le graphique suivant, le triangle ABC subira une homothétie de centre O de rapport 1,5

Pour déterminer les coordonnées du sommet A’, nous utiliserons la méthode par étape

1. Calculer la distance x et y entre le sommet A (3,4) et le point d’origine O (-3,2)

Pour y arriver, nous utiliserons les formules suivantes :

$(\Delta x = x_{A} - x_{o})$ et $(\Delta y = y_{A} - y_{o})$

$\Delta x = 3 - -3$ et $\Delta y = 4 - 2$

$\Delta x = 6$ et $\Delta y = 2$

On pourrait représenter ces données ainsi :

2. Multiplier la distance x et y par le rapport d’homothétie

On a donc trouvé que $\Delta x = 6$ et $\Delta y = 2$

On multipliera donc ces données par le rapport d’homothétie $k = 1{,}5$

On obtiendra ainsi le déplacement en x et en y du sommet A’

$\Delta x' = k \cdot \Delta x$ et $\Delta y' = k \cdot \Delta y$

$\Delta x' = 1{,}5 \cdot 6$ et $\Delta y' = 1{,}5 \cdot 2$

$\Delta x' = 9$ et $\Delta y' = 3$

3. Il ne nous reste plus qu’à déterminer les coordonnées du sommet A’

Pour y arriver, on utilisera la formule

$(x', y') = (x_{o} + \Delta x', y_{o} + \Delta y')$

où $x_{o} = -3$, $\Delta x' = 9$, $y_{o} = 2$ et $\Delta y' = 3$

$(x', y') = (-3 + 9, 2 + 3)$

$(x', y') = (6, 5)$

On sait donc que les coordonnées du sommet A’ sont (6,5)

B. La formule «Club Med» (tout inclus)

Une version compacte de la démarche précédente peut être présentée sous la forme suivante :

$(x', y') = (x_{o} + k \cdot \Delta x, y_{o} + k \cdot \Delta y)$

Avec cette formule, on doit tout de même calculer la distance en x et en y entre le point d’origine O et les sommets de la figure de départ.

Essayons cette méthode pour trouver le point C’ sur le triangle précédent

Reprenons où nous avions laissé plus tôt

Cette fois, trouvons la coordonnée du point C’ à l’aide de la formule «Club Med»

1. Déterminer les informations à utiliser dans la formule

Pour utiliser la formule

$(x', y') = (x_{o} + k \cdot \Delta x, y_{o} + k \cdot \Delta y)$

il faut connaître les information suivantes :

$x_{o} = -3$

$k = 1{,}5$

$\Delta x = 4$ (voir section 2.2.2)

$y_{o} = 2$

$\Delta y = -3$

2. On place ces informations dans la formule et on calcule avec soin

$(x', y') = (x_{o} + k \cdot \Delta x, y_{o} + k \cdot \Delta y)$

$(x', y') = (-3 + 1{,}5 \cdot 4, 2 + 1{,}5 \cdot -3)$

$(x', y') = (-3 + 6, 2 + -4{,}5)$

$(x', y') = (3, -2{,}5)$

On a donc déterminé que les coordonnées du point C’ sont $(3, -2{,}5)$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol 1.

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