2.1 – Les translations, rotations et réflexions dans le plan cartésien

Déplacer une figure dans un plan cartésien semble être une tâche relativement simple. Dans un certain contexte, c’est effectivement le cas.

En effet, nous verrons dans cette section que, lorsque les paramètres ne sont pas trop exigeants, déplacer une figure dans le plan cartésien se fait avec une certaine simplicité.

2.1.1 – La translation

Sans doute, la translation est la plus simple des trois transformations que nous verrons dans cette section.

Pour effectuer une translation, on doit d’abord connaître les paramètres du déplacement à effectuer. Les translations seront habituellement notées $t_{(a,b)}$ où a représente la valeur ajoutée à l’axe des x et b représente la valeur ajoutée à l’axe des y.

Pour calculer les coordonnées des sommets d’une figure à la suite de cette translation, on a simplement à suivre la formule suivante :

$t_{(a,b)}: (x, y) \rightarrow (x+a, y+b)$

On additionne donc la valeur du déplacement à chaque composante qu’elle affecte.

C’est tout!

Regardons ensemble un exemple :

Considérons la figure suivante :

Quelles seront les coordonnées de la figure image après une translation $t_{(2,-4)}$?

1. Appliquons la formule $t_{(a,b)}: (x, y) \rightarrow (x+a, y+b)$ à cette situation

Sommet A : $t_{(2,-4)}: (-1, 2) \rightarrow (-1+2, 2+-4)$

On obtient la coordonnée A’ (1,-2)

Sommet B : $t_{(2,-4)}: (3, 1) \rightarrow (3+2, 1+-4)$

On obtient B’ (5, -3)

Sommet C : $t_{(2,-4)}: (-2, -3) \rightarrow (-2+2, -3+-4)$

On obtient C’ (0, -7)

2. On place nos nouvelles coordonnées dans notre graphique

2.1.2 – La rotation dans le plan cartésien

Des trois transformations vues dans cette section, la rotation a le potentiel d’être la plus complexe. Par contre, nous ne verrons que les rotations de $90^{o}$, $180^{o}$ et $270^{o}$ (positives et négatives) dont le centre de rotation est au centre du plan cartésien (0,0). Cette simplification nous permet de produire les règles suivantes pour les rotations dans le plan cartésien :

Angle de rotation	Effet sur les coordonnées du sommet
$90^{o}$ ou $-270^{o}$	$(x, y) \rightarrow (y, -x)$
$180^{o}$	$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$
$270^{o}$ ou $-90^{o}$	$(x, y) \rightarrow (-y, x)$

Pour vérifier notre compréhension des formules, examinons l’exemple suivant :

Considérons la figure suivante (la même que dans le 1$^{er}$ exemple)

On cherche à déterminer les coordonnées suite à une rotation de $90^{o}$

1. On peut représenter la rotation sur le graphique

2. D’après les règles de transformation, on détermine les coordonnées des sommets images

Puisqu’on applique une rotation de $90^{o}$, on aura $(x, y) \rightarrow (y, -x)$

Sommet A’ : $(-1, 2) \rightarrow (2, 1)$

Sommet B’ : $(3, 1) \rightarrow (1, -3)$

Sommet C’ : $(-2, -3) \rightarrow (-3, 2)$

2.1.3 – La réflexion dans le plan cartésien

Encore une fois, la réflexion peut être une transformation assez complexe si l’axe de réflexion est une droite quelconque dans le plan cartésien. Toutefois, les réflexions que nous aborderons cette année n’auront comme axe de réflexion que les axes x et y du plan cartésien. PAR CONTRE, vous disposez depuis l’an passé des connaissances nécessaires pour effectuer n’importe quelle réflexion dans le plan cartésien. Nous nous amuserons à tenter l’expérience ensemble.

Pour effectuer les réflexions, il suffit de suivre les deux règles suivantes :

• Si l’axe des x est l’axe de réflexion : $(x, y) \rightarrow (x, -y)$
• Si l’axe des y est l’axe de réflexion : $(x, y) \rightarrow (-x, y)$

C’EST TOUT!

Pour vous mettre au défi un peu, déterminez à l’aide de ces deux règles les coordonnées du triangle D’E’F’ si le triangle DEF a subi une réflexion par rapport à l’axe des y.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol 1

p. 97 #1, 2 (aceg), 3, 4(ac), 7 (très important!!!), 8(bdfh), 10(seulement les 2 premières colonnes), 11, 13(ac)