5.1 – La fonction logarithmique

Une des questions qui revient souvent lorsqu'on travaille avec les exposants et la fonction exponentielle est : Comment peut-on calculer la valeur de l'exposant lorsqu'on connaît la base et la puissance (la réponse de l'exposant). La réponse à cette question est : en faisant le logarithme de cette base!

Comme nous le verrons dans cette section, le logarithme est une sorte d'opération inverse de l'exposant, mais c'est aussi la réciproque de la fonction exponentielle dans un graphique. Les deux concepts sont donc étroitement liés.

5.1.1 – Le logarithme

Pour passer de la forme d'écriture d'un exposant à son logarithme correspondant, on peut se fier à la correspondance suivante :

Il faut simplement s'assurer que :

• la puissance (m) n'est pas nulle ($m > 0$)
• la base est supérieure à 0 ($c > 0$)
• la base est différente de 1 ($c \neq 1$)

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons l'expression algébrique suivante:

$55{,}9 = 5^{x}$

Comme vous le remarquez, 55,9 n'est pas un multiple habituel de 5. Cette réponse (puissance) n'a donc pas été obtenue par l'utilisation d'un exposant entier. On ne peut donc pas procéder par essai-erreur.

1. On utilise l'expression logarithmique pour déterminer la valeur de l'exposant recherché.

$55{,}9 = 5^{x} \text{ deviendra } x = \log_{5} 55{,}9$

2. Maintenant que nous connaissons l'expression logarithmique dont nous avons besoin, on peut maintenant utiliser notre calculatrice.

Comme nous le verrons plus loin, le logarithme «de base» est le logarithme en base 10. C'est aussi le seul logarithme inscrit dans votre calculatrice (à part le logarithme naturel, voir plus loin).

On doit donc utiliser les propriétés des logarithmes pour transformer notre expression de départ ainsi :

$x = \log_{5} 55{,}9 \text{ deviendra } x = \dfrac{\log 55{,}9}{\log 5}$

Ainsi, on obtient que $x = 2{,}5$

3. On peut vérifier notre réponse en revenant à la forme exponentielle

$5^{2{,}5} = ?$

$5^{2{,}5} = 55{,}9$

Ça fonctionne!

5.1.2 – Logarithme décimal et logarithme népérien

Les deux logarithmes les plus utilisés sont le logarithme décimal (logarithme en base 10) et le logarithme népérien (aussi appelé logarithme naturel).

Logarithme décimal

Le logarithme décimal est souvent utilisé pour obtenir des valeurs en notation scientifique. La base 10 représente les «sauts» de 10 pour chaque unité d'un nombre. Une autre utilisation fréquente du logarithme décimal est l'échelle du pH (qui est une échelle logarithmique décimale).

Ex : $10^{3} = 1000$ et $10^{2{,}8} = 630{,}96$

Sur la calculatrice, le logarithme décimal ($\log_{10}$) est noté directement log.

Logarithme népérien

Le logarithme népérien ou logarithme naturel utilise le nombre d'Euler (e) comme base.

$e$ a une valeur théorique d'environ 2,7183 (il s'agit d'un nombre irrationnel comme pi).

Pour votre curiosité, on obtient $e$ ainsi :

$e = 1 + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1\times 2} + \dfrac{1}{1\times 2\times 3} + \dfrac{1}{1\times 2\times 3\times 4} + \cdots$

Sur la calculatrice, le logarithme naturel se note ln.

5.1.3 – La fonction logarithmique

Dans sa forme complète, la fonction logarithmique se note ainsi :

$y = a\log_{c} b(x-h)+k$

Toutefois, des manipulations algébriques (que je vous épargne) et des simplifications permettent d'obtenir une forme plus simple pour cette fonction en CST soit :

$y = \log_{c} x$

Puisque le logarithme est étroitement lié à la notation exponentielle, la fonction logarithmique est aussi étroitement liée à la fonction exponentielle. En fait, la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle associée.

On peut bien le comprendre dans cette image :

Pour tracer une fonction logarithmique sur l'ordinateur ou sur votre calculatrice graphique, vous devrez utiliser la stratégie montrée plus haut.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 3

p. 36 #1adg, 2adg, 3beh, 4abcei, 5afg, 6adg, 7ac, 8acegi, 10, 11, 14, 15, 17 et 18