6.3 – Espérance mathématique et équité

Lorsqu'on se trouve dans une fête foraine, il arrive qu'on se pose la question «ce jeu est-il équitable (fair)?». Cette section vous permettra de répondre à ce genre d'interrogations.

6.3.1 – Espérance mathématique

L'espérance mathématique correspond au pointage moyen ou au gain moyen qu'on peut obtenir lors d'une expérience aléatoire. C'est donc dire que si on fait cette expérience une infinité de fois, on devrait gagner en moyenne le montant de l'espérance mathématique. Regardons un exemple ensemble pour mieux comprendre.

Un nouveau jeu au casino ressemble à ceci :

Pour 5$, les participants peuvent faire tourner une grande roue.

Différents prix sont associés à chaque couleur.

Quelle est l'espérance mathématique de ce jeu?

Évidemment, plusieurs cases vous feront perdre 5$ mais d'autres peuvent vous faire gagner 2$ et 5$. Est-ce que vous pensez que ces gains peuvent compenser les pertes encourues?

Pour calculer l'espérance mathématique, on procède ainsi :

$E_t = E_a + E_b + E_c + \ldots$

où $E_t$ représente l'espérance totale et $E_a$ et les autres représente l'espérance de chaque possibilité

On calcule les espérances individuelles de chaque possibilité ainsi :

$E_a = \text{gain net} \times \text{probabilité}$

Faisons donc ensemble la démarche d'espérance mathématique de la roue :

1. On calcule la probabilité de chaque couleur

• Rouge = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 = 0,4375
• Jaune = 4/16 = 0,25
• Bleu = 1/8 + 1/16 = 0,1875
• Vert = 1/8 + 1/16 = 0,1875

2. On calcule ensuite les gains nets

• Rouge = -5$ + 0$ = -5$ (puisqu'on paie 5$ pour jouer, on commence avec -5$)
• Jaune = -5$ + 5$ = 0$
• Bleu = -5$ + 7$ = 2$
• Vert = -5$ + 10$ = 5$

3. On peut maintenant calculer les espérances individuelles

• Rouge = 0,4375 • -5$ = -2,1875
• Jaune = 0,25 • 0$ = 0
• Bleu = 0,1875 • 2$ = 0,375
• Vert = 0,1875 • 5$ = 0,9375

4. On peut maintenant calculer l'espérance totale

$E_t = E_r + E_j + E_b + E_v$

$E_t = -2{,}1875 + 0 + 0{,}375 + 0{,}9375$

$E_t = -0{,}875$

Ceci veut donc dire qu'on perdra (en moyenne) 0,875$ à chaque coup (c'est l'espérance mathématique)

6.3.2 – Équité

Essentiellement, une situation est dite équitable si l'espérance mathématique est à 0 (ou près de 0). Dans l'exemple précédent, on a calculé que l'espérance mathématique était à -0,875 ce qui veut dire que la situation est favorable pour le casino, donc pas équitable. Une situation où l'espérance mathématique serait positive serait favorable vers les joueurs, ce qui n'est pas équitable pour le casino.

L'espérance mathématique nous aide donc à découvrir si une situation est équitable ou non et à quantifier l'iniquité.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision vol. 2

p. 165 #1(bcd), 2(d et ensuite a), 3, 4, 7, 8, 10. Pour un défi, faites le #6 (abcd)