1.4 – Les inéquations dans le plan cartésien
La dernière section de notre chapitre concernant le plan cartésien portera sur les inéquations dans le plan cartésien.
La représentation d'une inéquation pourra vous sembler un peu étrange mais elle n'est pas bien différente de celle d'une équation linéaire régulière (y = ax + b).
1.4.1 - Rappel sur les inéquations
Sans le savoir, vous utilisez déjà plusieurs inéquations dans votre vie quotidienne. Par exemple, lorsqu'on dit qu'un film est réservé aux 13 ans et plus, on pourrait l'exprimer ainsi (a ≥ 13) où l'âge pour pouvoir voir le film est représenté par a. Évidemment, plusieurs autres situations utilisent les inéquations.
Lors d'un duathlon, la distance parcourue à vélo équivaut à plus du double de celle parcourue à pied.
(v > 2p)
La quantité de lipides et de glucides dans une éclair au chocolat est d'au plus 53,2g.
(l + g ≤ 53,2)
La manipulation d'inéquations algébriques comporte plusieurs notions importantes qui ont déjà été couvertes l'an passé. Vous pouvez accéder à ces notions importantes en consultant la section 3.4 du cours de mathématiques de secondaire 3 sur Open Learning.
Nous avions appris comment effectuer des manipulations algébriques sur des inéquations et comment les représenter sur une droite graduée.
Cette année, nous irons plus loin en représentant des inéquations linéaires dans un plan cartésien.
1.4.2 – Les inéquations dans le plan cartésien
Contrairement à une équation qui comporte une seule solution (y = 3 ou x = 2), une inéquation comporte une infinité de solutions qui sont représentées par un demi-plan.
Un demi-plan est une région du plan cartésien qui se situe au dessus ou au dessous d'une droite.
Pour tracer une inéquation dans un plan cartésien, il faut tenir compte de trois informations importantes :
La fonction qui compose l'inéquation. y > 3x+2 sera tracé comme la fonction y = 3x+2
Le symbole de l'inéquation. Les symboles < et > donneront une ligne pointillée. Les symboles ≤ et ≥ donneront une ligne continue.
Le côté de l'inéquation. Pour y < ax + b et y ≤ ax + b, la zone indiquée sera sous la droite. Pour y > ax + b et y ≥ ax + b, la zone indiquée sera au-dessus de la droite.
Traçons donc une inéquation pour valider la démarche.
Considérons l'inéquation suivante :
- Pour tracer l'inéquation, on doit d'abord tracer la fonction associée (y = -2,3x + 5)
Pour tracer une fonction, on doit toujours disposer de deux points qui font partie de cette fonction.
Le premier point est toujours «gratuit», c'est à dire qu'il nous est déjà donné dans la fonction.
La valeur initiale de la fonction est 5, on a donc le point (0,5)
Le deuxième point peut être «inventé» est plaçant une valeur de x de notre choix dans la fonction et en trouvant le y associée
Je choisirai x = 3 ici :
Notre deuxième point est donc (3 , -1,9)
On place donc nos point (0 , 5) et (3 , -1,9) dans le plan cartésien et on trace la fonction avec ces points.
- On peut maintenant identifier le côté de l'inéquation qui représentera l'ensemble-solution.
Pour choisir le côté de l'inéquation, on peut utiliser deux méthodes.
On peut soit retenir que :
y ≥ ax + b et y > ax + b représentent des zones au dessus de la droite
y ≤ ax + b et y < ax + b représentent des zones au dessous de la droite
Ou bien, on peut tester l'inéquation en choisissant un point du plan cartésien.
Ici, je choisirai le point (2 , 4) à tester dans l'inéquation
Puisque 4 est effectivement plus grand que 0,4, on sait que le point (2,4) fait effectivement partie de l'ensemble solution.
On coloriera donc la zone où ce point est présent.
- Il reste seulement à déterminer s'il s'agit d'une ligne pointillée ou continue. Puisque l'inéquation donnée est y > -2,3x + 5, on tracera une ligne pointillée (le symbole > exclut les valeurs situées exactement sur la droite).
Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1
p. 51 #1 à 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15 et 17