1.3 – Les droites perpendiculaires

Maintenant que vous êtes des experts du plan cartésien (distance entre deux points, point de partage d'un segment, systèmes d'équations) vous êtes en mesure d'ajouter un nouvel outil à votre arsenal. Nous verrons dans cette section comment déterminer la règle d'une fonction linéaire qui coupe perpendiculairement une autre droite. Ceci se fera en deux temps, d'abord comment déterminer le taux de variation et ensuite comment déterminer sa règle.

1.3.1 – Déterminer la pente (taux de variation) d'une droite perpendiculaire

Cette année, nous verrons plusieurs situations différentes où vous serez appelé à déterminer la règle d'une fonction qui en coupe une autre de manière perpendiculaire (à 90°). La première étape pour y arriver est d'être en mesure d'établir le taux de variation (a) de cette nouvelle fonction qui traverse le graphique.

En théorie, déterminer la valeur du a de cette nouvelle fonction est très simple, en pratique, c'est parfois moins évident.

Pour y arriver, il suffit d'attribuer à la nouvelle fonction le taux de variation inverse et de signe opposé à la fonction initiale.

Par exemple, la fonction 1 (f1) y = 3x – 2 serait croisé par une fonction 2 (f2) y = -1/3x + 4

On comprend ici que 1/3 est le taux de variation inverse de 3 (3/1) et que, puisque la fonction f1 était positive, la fonction f2 est négative.

Les valeurs initiales des deux fonctions n'ont pas d'importance ici.

Faisons ensemble un exemple plus complet :

Considérons la fonction suivante :

$y_1 = 1{,}5x + 4$

Quelle serait la règle d'une fonction dont la valeur initiale (b) est 0 qui est perpendiculaire à y1?

1. On doit d'abord identifier la valeur et le signe du taux de variation de la fonction initiale.

Puisque y1 = 1,5x + 4, on identifie le taux de variation comme valant (+)1,5

2. On inverse maintenant ce taux de variation.

Pour inverser le taux de variation, on commence d'abord par le placer dans une fraction dont le dénominateur est 1. Ceci n'influence donc pas la valeur de la fraction.

$1{,}5 \text{ deviendra donc } \frac{1{,}5}{1}$

On peut maintenant inverser cette fraction pour déterminer le taux de variation de y2.

$\frac{1{,}5}{1} \text{ devient donc } \frac{1}{1{,}5}$

3. On doit ensuite déterminer le signe (+ ou -) du taux de variation de la nouvelle fonction.

Puisque le taux de variation de la fonction y1 est positif, celui de la fonction y2 sera négatif.

$\text{Le taux de variation de } y_2 \text{ deviendra donc } \frac{-1}{1{,}5}$

On peut aussi transformer cette fraction en valeur décimale

$\frac{-1}{1{,}5} \text{ est équivalent à } -0{,}666$

4. On place finalement notre nouveau taux de variation dans la fonction

Dans cet exemple, la valeur initiale de la fonction y2 est nul (0)

$\text{On obtient donc la fonction } y_2 = -0{,}66x + 0$ $\text{donc } y_2 = -0{,}66x \text{ ou } y_2 = \frac{-x}{1{,}5}$

Dans un graphique, les deux fonctions auront cette allure

1.3.2 – Déterminer la règle complète d'une droite perpendiculaire

Maintenant que nous savons comment déterminer le taux de variation d'une droite perpendiculaire, nous pouvons appliquer nos connaissances antérieurs pour déterminer la règle complète d'une fonction perpendiculaire.

Dans la grande majorité des situations qui vous seront proposées, vous disposerez des coordonnées d'au moins un point par lequel passe la droite perpendiculaire. À partir de ces coordonnées et du taux de variation de la nouvelle droite (voir section 1.3.1), vous disposerez de tous les outils nécessaires pour déterminer la règle complète de la nouvelle fonction.

Dans ces situations, vous devez :

1. Déterminer le taux de variation (a) de la droite perpendiculaire.
2. Placer la valeur de a dans le modèle y = ax + b
3. Remplacer y et x par les valeurs disponibles dans la coordonnée.
4. Isoler la valeur de b dans la fonction pour déterminer le taux de variation
5. Écrire la version complète de la fonction

Faisons un exemple :

Considérons la situation suivante :

Quelle est la règle de la fonction perpendiculaire à la droite y1 = -2x + 3,5 qui passe par le point (5,2).

1. Déterminer le taux de variation de la fonction perpendiculaire

Puisque le taux de variation de y1 est -2, le taux de variation de la fonction y2 sera 0,5 (ou 1/2)

$a = 0{,}5$

2. Placer la valeur de a dans le modèle y = ax + b

$y = ax + b \text{ deviendra}$ $y = 0{,}5x + b$

On remarque donc qu'il nous manque b pour compléter la règle

3. On remplace la y et x par les valeurs de la coordonnée (5,2)

Puisqu'on nous indique que la fonction y2 passe par le point (5,2) on peut placer ces coordonnées dans l'équation de la fonction.

$y = 0{,}5x + b \text{ deviendra}$ $2 = 0{,}5 \cdot 5 + b$

On peut donc simplifier et isoler b pour connaître sa valeur

$2 = 0{,}5 \cdot 5 + b$ $2 = 2{,}5 + b$ $-2{,}5 \qquad -2{,}5$ $-0{,}5 = b$

4. Écrire la fonction complète

Pour la fonction y2, on a obtenu les informations suivantes :

a = 0,5

b = -0,5

On peut donc écrire la fonction complète

$y = 0{,}5x - 0{,}5$

Une fois cette fonction tracée dans le plan cartésien, on obtient ceci :

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1

p. 28 # 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10c, 14, 17 et 20