1.2 – Le point de partage d'un segment

Maintenant que vous êtes des experts pour déterminer la distance entre deux points, il sera assez simple pour vous de réussir à déterminer l'emplacement du point de partage d'un segment dans un plan cartésien. Énoncé comme cela, ce concept peut sembler hostile mais il s'agit simplement de déterminer les coordonnées d'un point qui partage un segment en deux (soit au milieu ou dans d'autres proportions).

Ici, on remarque que le point milieu entre les deux points rouges est situé à la coordonnée (2,4). Nous verrons comment déterminer avec exactitude ces coordonnées.

1.2.1 – La formule du point milieu

Pour déterminer les coordonnées x et y d'un point milieu, notés (xm, ym), on utilise la formule suivante :

$(x_m,y_m) = \left(x_1 + \frac{1}{2}(x_2 - x_1) \, , \, y_1 + \frac{1}{2}(y_2 - y_1)\right)$

Voici un exemple de l'utilisation de cette formule

Considérons les deux points suivants :

Quelle est la coordonnée du point milieu qui les séparent?

1. Considérons d'abord la formule donnée et les termes qui la compose.

$(x_m,y_m) = \left(x_1 + \frac{1}{2}(x_2 - x_1) \, , \, y_1 + \frac{1}{2}(y_2 - y_1)\right)$

Ici, xm et ym sont les coordonnées du point que l'on cherche

x1 et y1 sont les coordonnées du 1er point, donc (-5,5)

x2 et y2 sont les coordonnées du 2e point, donc (11,-2)

2. Plaçons maintenant toutes les informations au bon endroit.

$(x_m,y_m) = \left(x_1 + \frac{1}{2}(x_2 - x_1) \, , \, y_1 + \frac{1}{2}(y_2 - y_1)\right)$

deviendra

$(x_m,y_m) = \left(-5 + \frac{1}{2}(11 - -5) \, , \, 5 + \frac{1}{2}(-2 - 5)\right)$

3. On peut maintenant simplifier l'équation pour obtenir nos coordonnées.

$(x_m,y_m) = \left(-5 + \frac{1}{2}(11 - -5) \, , \, 5 + \frac{1}{2}(-2 - 5)\right)$ $(x_m,y_m) = \left(-5 + \frac{1}{2}(16) \, , \, 5 + \frac{1}{2}(-7)\right)$ $(x_m,y_m) = (-5 + 8 \, , \, 5 + -3{,}5)$ $(x_m,y_m) = (3 \, , \, 1{,}5)$

On obtient donc le point milieu aux coordonnées (3, 1,5)

1.2.2 – La méthode du triangle modifiée

Comme pour la démarche pour déterminer la distance entre deux points, il est possible de déterminer les coordonnées du point milieu entre deux points d'un plan cartésien à l'aide de la technique du triangle.

On utilise l'écart en x et en y entre les deux points pour déterminer l'emplacement du point milieu.

Voici comment procéder :

Reprenons l'exemple précédent :

1. Comme précédemment, on commence par tracer le triangle rectangle qui relie les deux points

2. Puisqu'on cherche les coordonnées du point qui se situe à mi-chemin entre A et B, on divise simplement les mesures du triangle par deux, puis on ajoute ces mesures aux coordonnées du point A.

En x : 16 ÷ 2 = 8

En y : -7 ÷ 2 = -3,5

On a donc x = -5 + 8 = 3

et y = 5 – 3,5 = 1,5

Les coordonnées du point milieu sont donc (3 , 1,5)

1.2.3 – Le point de partage asymétrique d'un segment

Basé sur cette méthode, il est aussi possible de déterminer la position de n'importe quel point qui sépare le segment entre A et B dans n'importe quelle proportion (ce point sera appelé point de partage). Il suffit simplement de modifier légèrement l'une des deux méthodes présentée plus haut.

La formule devient donc

$(x_p,y_p) = \left(x_1 + k(x_2 - x_1) \, , \, y_1 + k(y_2 - y_1)\right)$

où k représente le rapport dans lequel le segment AB est séparé (par exemple 1/3)

La méthode du triangle est aussi adaptable à ces situations :

Il suffit de diviser par un rapport autre que 1/2 pour utiliser cette méthode dans d'autres conditions.

Utilisons une nouvelle mise en situation pour revoir les deux méthodes en action :

Considérons la situation suivante :

On cherche les coordonnées du point qui partage le segment AB au quart de sa longueur (1/4)

Avec la formule

$(x_p,y_p) = \left(x_1 + k(x_2 - x_1) \, , \, y_1 + k(y_2 - y_1)\right)$

où xp,yp sont les coordonnées du point de partage,

k est le rapport qui sépare le segment AB

x1 = -4 y1 = -3

x2 = 13 y2 = 1

On obtient donc :

$(x_p,y_p) = \left(-4 + \frac{1}{4}(13 - -4) \, , \, -3 + \frac{1}{4}(1 - -3)\right)$ $(x_p,y_p) = \left(-4 + \frac{1}{4}(17) \, , \, -3 + \frac{1}{4}(4)\right)$ $(x_p,y_p) = (-4 + 4{,}25 \, , \, -3 + 1)$ $(x_p,y_p) = (0{,}25 \, , \, -2)$

Avec la méthode du triangle

1. On trace le triangle

2. On multiplie les mesures du triangle par le rapport souhaité (1/4)

3. On détermine les coordonnées du point P en ajoutant les valeurs calculées au coordonnées du point A

$x_p = x_1 + 4{,}25$ $x_p = -4 + 4{,}25$ $x_p = 0{,}25$

$y_p = y_1 + 1$ $y_p = -3 + 1$ $y_p = -2$

Comme attendu, on obtient le même résultat dans les deux cas :

(xp , yp) = (0,25 , -2)

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol 1.

p. 17 # 2, 3, 4, 6, 7(ac), 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 20.