2.3 – Droite de régression et coefficient de corrélation

Maintenant que nous avons vu comment estimer une droite de régression (ce que nous appelions «la meilleure droite possible» dans la section précédente) et un coefficient de corrélation (à l'aide de la technique de la boîte), nous allons voir comme déterminer précisément la règle d'une droite de régression ainsi qu'utiliser notre calculatrice graphique pour calculer le coefficient de corrélation.

2.3.1 – Droite de régression (technique Médiane-Médiane)

La première méthode utilisée pour déterminer la règle d'une droite de régression est d'utiliser la technique Médiane-Médiane. Pour utiliser cette technique, on doit suivre les étapes suivantes :

1. Classer les données en ordre croissant (selon les variables indépendantes (l'axe des x))
2. Séparer les données en trois groupes égaux. Si les données ne se séparent pas en trois groupes égaux, le groupe du centre est celui qui doit être ajusté à la hausse ou à la baisse (voir exemple)
3. Dans le 1$^{er}$ et le 3$^{e}$ groupe, identifier la médiane en x et en y
4. Utiliser les coordonnées de ces médianes pour déterminer la règle de la fonction de la droite de régression (y = ax + b)

Utilisons l'exemple suivant pour mieux comprendre :

Voici des données recueillies lors d'un sondage. On interrogeait les répondants sur leur âge et sur leur salaire annuel (en milliers de dollars).

$(12,\ 0)\ \ (28,\ 45)\ \ (14,\ 0)\ \ (16,\ 7)\ \ (61,\ 77)\ \ (21,\ 14)\ \ (36,\ 71)\ \ (23,\ 11)\ \ (47,\ 68)\ \ (17,\ 8{,}3)\ \ (32,\ 37)\ \ (13,\ 1{,}5)\ \ (51,\ 63)$

On cherche à déterminer la droite de régression de cet ensemble de données à l'aide de la technique Médiane-Médiane

1. On doit d'abord reclasser les données en ordre croissant des x (ici, ce sera l'âge)

$(12,\ 0)\ \ (13,\ 1{,}5)\ \ (14,\ 0)\ \ (16,\ 7)\ \ (17,\ 8{,}3)\ \ (21,\ 14)\ \ (23,\ 11)\ \ (28,\ 45)\ \ (32,\ 37)\ \ (36,\ 71)\ \ (47,\ 68)\ \ (51,\ 63)\ \ (61,\ 77)$

Pour faciliter les chose, on disposera ces données dans une table de valeurs

x	12	13	14	16	17	21	23	28	32	36	47	51	61
y	0	1,5	0	7	8,3	14	11	45	37	71	68	63	77

2. Séparer les données en trois groupes égaux

Puisque nous disposons de 13 données, nous pouvons faire 3 groupes de 4 données (3 x 4 = 12) mais nous avons une donnée de trop. Cette donnée sera placée dans le groupe du centre.

3. Dans le 1$^{er}$ et le 3$^{e}$ groupe, identifier la médiane en x et en y

Comme nous l'avons vu dans les années passées, la médiane se calcule Médiane = (n + 1) ÷ 2 où n est le nombre de données

Donc dans le 1$^{er}$ et 3$^{e}$ groupe, nous disposons de 4 données, la médiane sera donc située à

$(4 + 1) \div 2 = 5 \div 2 = 2{,}5^{e}\ donnée$

Rappel

Lorsqu'une médiane est placée entre deux valeurs, on fait la moyenne de ces deux valeurs pour trouver la valeur de la médiane

4. Utiliser les coordonnées de ces médianes pour déterminer la règle de la fonction de la droite de régression

À l'aide des coordonnées (13.5 , 0.75) et (49 , 65.5), on détermine le taux de variation et la valeur initiale de la fonction

Rappel

$a = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Dans ce cas, on obtient la droite y = 1,82x – 23,87

On peut observer l'allure de notre droite de régression dans le graphique suivant :

Dans votre calculatrice graphique, une fois vos données entrées dans la section STAT, rendez-vous dans la section CALC et sélectionnez l'option MED-MED pour calculer la droite de régression à l'aide de la technique Médiane-Médiane.

2.3.2 – Droite de régression (technique de Mayer)

La technique de Mayer est très semblable à celle de la Médiane-Médiane et elle est peut-être même plus simple.

Pour cette technique, il suffit de suivre les étapes suivantes :

1. Placer les données en ordre croissant selon l'axe des x
2. Séparer les données en deux groupes égaux (laisser une donnée au centre dans le cas d'une distribution impaire)
3. Calculer la moyenne des x et des y de chaque moitié
4. Déterminer l'équation de la droite de régression à l'aide des deux coordonnées obtenues (y = ax + b)

Utilisons l'exemple suivant pour mieux comprendre :

Nous reprendrons les données de l'exemple précédent :

$(12,\ 0)\ \ (28,\ 45)\ \ (14,\ 0)\ \ (16,\ 7)\ \ (61,\ 77)\ \ (21,\ 14)\ \ (36,\ 71)\ \ (23,\ 11)\ \ (47,\ 68)\ \ (17,\ 8{,}3)\ \ (32,\ 37)\ \ (13,\ 1{,}5)\ \ (51,\ 63)$

On cherche à déterminer la droite de régression de cet ensemble de données à l'aide de la technique de Mayer.

1. Placer les données en ordre croissant selon l'axe des x

x	12	13	14	16	17	21	23	28	32	36	47	51	61
y	0	1,5	0	7	8,3	14	11	45	37	71	68	63	77

2. Séparer les données en deux groupes égaux (laisser une donnée au centre dans le cas d'une distribution impaire)

3. Calculer la moyenne des x et des y de chaque moitié

4. Déterminer l'équation de la droite de régression à l'aide des deux coordonnées obtenues

Dans ce cas, on obtient la droite

y = 1,84x – 23,3

Dans un plan cartésien, cette droite ressemble à ceci :

La calculatrice graphique n'a pas de programme de base pour calculer la droite de régression selon la technique de Mayer.

2.3.3 – Coefficient de corrélation (r)

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1

p. 125 #3, 4, 5, 6, 11 et 12.