2.1 – Diagrammes et mesures de groupes

Comme vous le voyez depuis plusieurs années, les mesures de tendance centrale sont très utiles pour obtenir des informations sur un groupe de données. Par contre, il est possible d'utiliser d'autres moyens statistiques pour mieux comprendre un ensemble de données et même identifier la place d'une donnée particulière dans ce groupe.

2.1.1 – Diagramme à tige et à feuille

Ces diagrammes sont caractérisés par une «tige» centrale (habituellement formée par le début des nombres de l'ensemble) et par des «feuilles» qui peuvent s'étendre d'un côté ou des deux côtés. L'avantage de ce type de diagramme est qu'il permet rapidement de repérer les groupes les plus populeux d'une étendue de données.

Prenons l'exemple suivant pour constituer le diagramme :

Considérons les données suivantes, qui représentent les parties de golf de 13 joueurs :

$85,\ 70,\ 97,\ 88,\ 74,\ 94,\ 68,\ 98,\ 91,\ 83,\ 87,\ 78,\ 92$

1. Pour pouvoir tracer un diagramme à tige et feuilles, il est d'abord pertinent de reclasser les données en ordre.

$68,\ 70,\ 74,\ 78,\ 83,\ 85,\ 87,\ 88,\ 91,\ 92,\ 94,\ 97,\ 98$

2. On dispose ensuite la «tige» du diagramme au centre de l'espace. Dans ce cas, on choisira les dizaines pour constituer la tige.

Nos données peuvent être regroupées dans 4 groupes :

$60,\ 70,\ 80,\ 90$

On obtient donc :

9
8
7
6

3. On place ensuite toutes nos valeurs dans leurs catégories respectives.

9  1, 2, 4, 7, 8
8  3, 5, 7, 8
7  0, 4, 8
6  8

4. Il est maintenant facile d'analyser notre groupe de données.

Il est clair que le groupe le plus représenté est celui des 90 et que de moins en moins de joueurs atteignent les scores plus bas.

2.1.2 – Écart-moyen

Comme mentionné plus haut, les mesures de tendance centrale vues dans le passé sont bien utiles mais pas toujours appropriées. En plus de calculer la moyenne d'un groupe dans une classe, on va souvent calculer l'écart-moyen. L'écart-moyen nous informera si les élèves d'un groupe sont tous du même niveau (écart-moyen faible) ou s'ils sont de niveaux très différents (écart-moyen grand).

Pour calculer l'écart-moyen, il suffit de faire la moyenne des écarts des données par rapport à la moyenne du groupe (je sais, la phrase ne nous aide pas trop). Nous comprendrons mieux à l'aide d'un exemple.

Reprenons les données de l'exemple précédent :

$68,\ 70,\ 74,\ 78,\ 83,\ 85,\ 87,\ 88,\ 91,\ 92,\ 94,\ 97,\ 98$

1. Pour commencer, on doit calculer la moyenne du groupe (la moyenne normale)

$Moyenne = \dfrac{Somme\ des\ données}{Nombre\ de\ données}$

$Moy = \dfrac{68 + 70 + 74 + 78 + 83 + 85 + 87 + 88 + 91 + 92 + 94 + 97 + 98}{13}$

Moy = 85

2. On calcule maintenant l'écart de chaque donnée par rapport à la moyenne calculée en 1.

68  70  74  78  83  85  87  88  91  92  94  97  98
17  15  11   7    2    0    2    3    6    7    9   12   13

3. On peut alors procéder à un nouveau calcul de moyenne, mais en utilisant ces nouvelles données d'écart.

$Écart\text{-}moyen = \dfrac{17 + 15 + 11 + 7 + 2 + 0 + 2 + 3 + 6 + 7 + 9 + 12 + 13}{13}$

Écart-moyen = 8

2.1.3 – Rang centile

Le rang centile sert lui aussi à nous informer sur un groupe de données. Par contre, plutôt que de nous informer sur la manière dont les données sont distribuées dans le groupe, le rang centile nous informe davantage sur la position ou le classement d'une donnée particulière dans son groupe. Avec le rang-centile, on peut énoncer des choses comme «cette donnée est plus grande que 75% des données de la distribution».

Pour calculer le rang-centile d'une donnée, on utilise la formule :

$R_{100} = \left(\dfrac{\text{nombre de données inférieures} + \left(\dfrac{\text{nombre de données égales}}{2}\right)}{\text{nombre total de données}}\right) \times 100$

Pour trouver une donnée qui représente un certain rang-centile, on utilise plutôt la formule :

$\text{Position dans la distribution} = \dfrac{\text{rang centile recherché}}{100} \times \text{nombre de données}$

Utilisons ces formules dans l'exemple suivant :

Voici un aperçu des résultats des 173 élèves d'une école secondaire au dernier examen du ministère de l'éducation :

$37,\ 39,\ 40,\ 42,\ [122\ résultats],\ 87,\ 88,\ 88,\ 88,\ 88,\ 88,\ 89,\ 89,\ [39\ résultats]$

Caroline est l'un(e) des élèves qui a obtenu(e) la note de 88%. Elle aimerait savoir son rang centile par rapport au reste des élèves.

1. On doit simplement identifier les éléments à placer dans la formule

nombre de données inférieures = on compte 127 données de moins de 88% nombre de données égales = on compte 5 notes de 88%

2. On peut maintenant placer ces données dans la formule et calculer le rang centile

$R_{100} = \left(\dfrac{127 + \left(\dfrac{5}{2}\right)}{173}\right) \times 100$

$R_{100} = \left(\dfrac{129{,}5}{173}\right) \times 100$

R$_{100}$ = 74,85

Donc Caroline se retrouve au 75$^{e}$ rang centile, elle a donc obtenu une meilleure note que 75% des élèves de son école.

Finalement, faisons un exemple pour la dernière formule :

Au même examen du ministère, Dave sait qu'il a très mal réussi mais il ne connaît pas sa note. Quelques semaines plus tard, il reçoit une lettre du Ministère de l'éducation. On lui apprend qu'en raison de son résultat au 39$^{e}$ rang centile, il devra reprendre son évaluation en juillet. Peut-on aider Dave à trouver sa note?

1. On utilise la formule de recherche de position pour cette situation.

$\text{Position dans la distribution} = \dfrac{\text{rang centile recherché}}{100} \times \text{nombre de données}$

Dave sait que 173 personnes ont fait l'examen et on l'a informé qu'il s'était classé au 39$^{e}$ rang centile.

$\text{Position} = \dfrac{39}{100} \times 173$

Position = 67,5

Il a donc obtenu la 67$^{e}$ ou 68$^{e}$ note à partir du bas de la distribution

En regardant avec attention les notes de son école, il comprend que la 67$^{e}$ note de la distribution est une note de 55%

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision vol.1

p. 83 # 2(ab), 3, 4, 6(ac), 7, 9, 15, 18, 21.