Section 4.3 – L'aire latérale et l'aire totale des solides

Maintenant que notre sens spatial est bien développé grâce à notre travail de la section 4.1, nous sommes prêts à appliquer des mathématiques aux solides. Dans cette section, nous calculerons l'aire latérale et l'aire totale des principaux solides que vous connaissez.

Aire latérale vs. aire totale

L'aire latérale d'un solide inclut seulement l'aire de ses côtés et exclut l'aire de sa ou ses bases. Au contraire, l'aire totale inclut l'aire de toutes les surfaces, donc l'aire latérale et l'aire des faces.

4.3.1 – L'aire latérale du cône

Un cône circulaire droit est une forme dont le développement de l'aire latérale ne donne pas un polygone régulier — il est donc difficile de calculer l'aire latérale d'un cône à l'aide des formules d'aires déjà connues. Voici pourquoi une nouvelle formule de calcul d'aire est introduite :

$Aire_{latérale\ du\ cône} = \Pi \cdot r \cdot a$

où $r$ représente le rayon du cercle à la base du cône et $a$ représente la mesure de l'apothème du cône.

Comme on le verra dans l'exemple suivant, la mesure de l'apothème devra souvent être déduite grâce au théorème de Pythagore.

Pour calculer l'aire totale d'un cône, on fait donc la somme de son aire latérale et de l'aire de sa base, un cercle. La formule est donc la suivante :

$Aire_{totale\ du\ cône} = \Pi \cdot r \cdot a + \Pi \cdot r^{2}$

Voici la démarche complète pour calculer l'aire totale d'un cône :

Considérons ce cône. Pour pouvoir calculer l'aire latérale de ce cône, il nous faudrait la mesure de l'apothème ($a$ dans la formule $\Pi r a$).

1. Calculer la mesure de l'apothème grâce au théorème de Pythagore. On utilise la formule $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ où $a$ représentera le rayon, $b$ représentera la hauteur et $c$ représentera l'apothème.

$3,2^{2} + 9^{2} = c^{2}$

$10,24 + 81 = c^{2}$

$91,24 = c^{2}$

$\sqrt{91,24} = \sqrt{c^{2}}$

$9,55 = c$

2. On peut maintenant calculer l'aire latérale du cône.

$A_{latérale} = \Pi \cdot r \cdot a$

$A_{l} = \Pi \cdot 3,2 \cdot 9,55$

$A_{l} = 96$

3. On doit alors calculer l'aire de la base.

$A_{base} = \Pi \cdot r^{2}$

$A_{b} = \Pi \cdot 3,2^{2}$

$A_{b} = \Pi \cdot 10,24$

$A_{b} = 32,17$

4. Puisque l'aire totale correspond à la somme de l'aire latérale et de l'aire de la base, on peut maintenant additionner ces deux valeurs.

$A_{totale} = A_{latérale} + A_{base}$

$A_{t} = 96 + 32,17$

$A_{t} = 128,17$

L'aire totale du cône est donc de 128,17 unités carrées.

Exercice

Détermine l'aire latérale et l'aire totale du cône suivant.

4.3.2 – L'aire d'une sphère

Comme pour le périmètre et l'aire avec le cercle, la sphère a aussi droit à un traitement particulier avec l'aire. Ici, le calcul de l'aire totale ne compte qu'une seule formule, puisqu'il n'y a qu'une face continue et donc pas de distinction entre l'aire latérale et l'aire totale.

$A_{sphère} = 4 \cdot \Pi \cdot r^{2}$

où $r$ représente le rayon de la sphère.

4.3.3 – Les formules des principaux solides

Pour l'ensemble des solides vus en classe cette année, on peut donc déduire trois grandes formules de calcul d'aire : les solides à deux bases (prismes et cylindres), les solides à une seule base (cônes et pyramides) et les sphères. Pour ces trois types de solides, on a les formules suivantes :

Solides	Aire latérale	Aire totale
Prismes droits, cylindres	$Aire_{latérale} = Périmètre_{base} \cdot hauteur$	$Aire_{totale} = Aire_{latérale} + Aire_{bases}$
Cônes, pyramides	$Aire_{latérale} = \dfrac{Périmètre_{base} \cdot apothème}{2}$	$Aire_{totale} = Aire_{latérale} + Aire_{base}$
Sphères	$Aire_{latérale} = Aire_{totale} = 4 \cdot \Pi \cdot r^{2}$	—

Essayons ensemble de calculer l'aire latérale et l'aire totale de ce prisme :

1. Développer la formule de l'aire totale du prisme.

$A_{totale} = A_{latérale} + A_{bases}$

Ici, l'aire latérale correspond à $A_{latérale} = périmètre\ de\ la\ base \cdot hauteur\ du\ prisme$. L'aire d'une base, quant à elle, correspond à $A_{base} = A_{triangle} = \dfrac{base \cdot hauteur}{2}$.

2. Vérifier si nous détenons toute l'information. Pour l'aire latérale, on peut facilement calculer le périmètre de la base ($3 \times 60\ cm$) et la hauteur du prisme nous est donnée ($100\ cm$) : on détient donc toutes les informations. Pour l'aire d'une base, la base du triangle nous est donnée ($60\ cm$), mais la hauteur du triangle nous est inconnue — il faudra donc utiliser le théorème de Pythagore.

3. Déterminer la hauteur du triangle à la base du prisme. On commence par placer un triangle rectangle dans notre triangle.

Puisque $b$ est notre inconnue, on peut transformer la formule $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ en $b^{2} = c^{2} - a^{2}$. Lorsqu'on y place les valeurs connues (le triangle équilatéral étant coupé en deux, la base de chaque moitié mesure $30\ cm$), on obtient :

$b^{2} = 60^{2} - 30^{2}$

$b^{2} = 3\,600 - 900$

$b^{2} = 2\,700$

$\sqrt{b^{2}} = \sqrt{2\,700}$

$b = 51,96$

La hauteur du triangle formant la base est donc de 51,96 cm.

4. Déterminer l'aire latérale et l'aire des bases.

$A_{latérale} = périmètre\ de\ la\ base \cdot hauteur\ du\ prisme$

$A_{latérale} = 180\ cm \cdot 100\ cm$

$A_{latérale} = 18\,000\ cm^{2}$

$A_{base} = \dfrac{base\ du\ triangle \cdot hauteur\ du\ triangle}{2}$

$A_{base} = \dfrac{60\ cm \cdot 51,96\ cm}{2}$

$A_{base} = \dfrac{3\,117,6\ cm^{2}}{2}$

$A_{base} = 1\,558,8\ cm^{2}$

5. Calculer l'aire totale du prisme.

$A_{totale} = A_{latérale} + A_{bases}$

$A_{totale} = 18\,000\ cm^{2} + 2 \cdot 1\,558,8\ cm^{2}$

$A_{totale} = 18\,000\ cm^{2} + 3\,117,6\ cm^{2}$

$A_{totale} = 21\,117,6\ cm^{2}$

On obtient donc une aire totale de 21 117,6 cm².

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision 1 : p. 26 # 1 (solides 1, 3 et 4), 2 (a et c), 3, 4, 6, 16, 17 et 19.